Question

如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，点E是DC的中点，过点E作DC的垂线交AB于点P，交CB的延长线于点M．点F在线段ME上，且满足CF＝AD，MF＝MA．

(1)若∠MFC＝120°，求证：AM＝2MB；
(2)求证：∠MPB＝90°－∠FCM．  

Answer 1

(1) 连结MD,
E是DC的中点，且ME⊥DC
EM是CD的垂直平分线
MD=MC
△AMD和△FMC中
AM=FM
MD=MC
AD=FC
△AMD△FMC  (SSS)
MAD=MFC=125
又AD∥BC 且∠ABC=90
 BAD=90
 MAB=35
 MB=AM
即MB=MF
MF=2MB
(2) MD="MC" 且ME⊥DC       
 ME平分DMC
FMC=DMC
又 AD∥MC
DMC=ADM
又△AMD△FMC
ADM=FCM
DMC=FCM
FMC=FCM
Rt△BPM中
MPB=90-FMC
=90-FCM

（1）连接MD，由于点E是DC的中点，ME⊥DC，所以MD=MC，然后利用已知条件证明△AMD≌△FMC，根据全等三角形的性质可以推出∴∠MAD=∠MFC=120°，接着得到∠MAB=30°，再根据30°的角所对的直角边等于斜边的一半即可证明AM=2BM；
（2）利用（1）的结论得到∠ADM=∠FCM，又AD∥BC，所以∠ADM=∠CMD，由此得到∠CMD=∠FCM，再利用等腰三角形的性质即可得到∠CME=∠FCM，再根据已知条件即可解决问题．