Question

如图，二次函数y=-x²+bx+c的图象与x轴交于点B（-3，0），与y轴交于点C（0，-3）．
（1）求直线BC及二次函数的解析式；
（2）设抛物线的顶点为D，与x轴的另一个交点为A．点P在抛物线的对称轴上，且∠APD=∠ACB，求点P的坐标；
（3）连接CD，求∠OCA与∠OCD两角和的度数．

Answer 1

【答案】分析：（1）根据待定系数法求直线BC的解析式即可；把点B、C的坐标代入二次函数，利用待定系数法求函数解析式解答；
（2）根据抛物线解析式求出顶点D的坐标，再根据二次函数的对称性求出点A的坐标，连接AD，然后求出∠ADP=∠ABC=45°，然后证明△ADP和△ABC相似，根据相似三角形对应边成比例列出比例式求出PD的长度，从而得解；
（3）连接BD，利用勾股定理求出BD、BC的长度，再求出∠CBD=90°，然后根据∠BCD与∠ACO的正切值相等可得∠BCD=∠ACO，从而得到∠OCA与∠OCD的和等于∠BCO，是45°．
解答：解：（1）设直线BC的解析式为y=kx+m，
∵点B（-3，0），点C（0，-3），
∴，
解得，
所以，直线BC的解析式为y=-x-3，
∵二次函数y=-x²+bx+c的图象经过点B（-3，0），点C（0，-3），
∴，
解得，
∴二次函数的解析式为y=-x²-4x-3；

（2）∵y=-x²-4x-3=-（x+2）²+1，
∴抛物线的顶点D（-2，1），对称轴为x=-2，
∵A、B关于对称轴对称，点B（-3，0），
∴点A的坐标为（-1，0），
AB=-1-（-3）=-1+3=2，
BC==3，
连接AD，则AD==，
tan∠ADP==1，
∴∠ADP=45°，
又∵B（-3，0），C（0，-3），
∴△OAC是等腰直角三角形，
∴∠ABC=45°，
∴∠ADP=∠ABC=45°，
又∵∠APD=∠ACB，
∴△ADP∽△ABC，
∴=，
即=，
解得DP=3，
点P到x轴的距离为3-1=2，
点P的坐标为（-2，-2）；

（3）连接BD，∵B（-3，0），D（-2，1），
∴tan∠DBA==1，
∴∠DBA=45°，
根据勾股定理，BD==，
又∵∠ABC=45°，
∴∠DBC=45°×2=90°，
∴tan∠BCD===，
又∵tan∠OCA==，
∴∠BCD=∠OCA，
∴∠OCA+∠OCD=∠BCD+∠OCD=∠OCB，
∵B（-3，0），C（0，-3），
∴△OAC是等腰直角三角形，
∴∠OCB=45°，
即∠OCA与∠OCD两角和是45°．
点评：本题是对二次函数的综合考查，主要利用了待定系数法求函数解析式，二次函数的对称性，解直角三角形，勾股定理，以及相似三角形的判定与性质，利用数据的特殊性求出等腰直角三角形得到45°角，然后找出相等的角是解题的关键．