Question

如图，△ABC内接于⊙O，且AB=AC，BD是⊙O的直径， AD与BC交于点E，
F在DA的延长线上，且BF=BE．

【小题1】试判断BF与⊙O的位置关系，并说明理由
【小题2】若BF=5，cosC=，求⊙O的直径

Answer 1

【小题1】BF与⊙O相切，连接OB、OA，连接BD（1分），
∵AD⊥AB，∴∠BAD=90°，
∴BD是直径，∴BD过圆心
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠C，
∵∠C=∠D，
∴∠ABC=∠D，
∵AD⊥AB，
∴∠ABD+∠D=90°，
∵AF=AE，
∴∠EBA=∠FBA，
∴∠ABD+∠FBA=90°，
∴OB⊥BF，
∴BF是⊙O切线（4分）；
【小题2】∵∠C=∠D，cos∠C=，
∴cos∠D=，
∵BF=5，
∴，
∴，
∴BD=×5=，
∴直径为（8分）．解析:
（1）连接OB、OA或连接BD，由AB=AC，则∠ABC=∠C，由BF=BE，则∠EBA=∠FBA，从而得出∠ABD+∠FBA=90°，即OB⊥BF，则BF是⊙O切线；
（2）由（1）得∠C=∠D，再由cos∠C=，得，则，从而求出BD．