Question

如图，在⊙O中，AB、CD是两条弦，OE⊥AB，OF⊥CD，垂足分别为E、F．
（1）如果∠AOB=∠COD，那么OE与OF的大小有什么关系？为什么？
（2）如果OE=OF，那么与的大小有什么关系？AB与CD的大小有什么关系？为什么？∠AOB与∠COD呢？

Answer 1

（1）解：OE=OF，
理由是：∵OE⊥AB，OF⊥CD，OA=OB，OC=OD，
∴∠OEB=∠OFD=90°，∠EOB=∠AOB，∠FOD=∠COD，
∵∠AOB=∠COD，
∴∠EOB=∠FOD，
∵在△EOB和△FOD中，

∴△EOB≌△FOD（AAS），
∴OE=OF．

（2）解：弧AB=弧CD，AB=CD，∠AOB=∠COD，
理由是：∵OE⊥AB，OF⊥CD，
∴∠OEB=∠OFD=90°，
∵在Rt△BEO和Rt△DFO中，

∴Rt△BEO≌Rt△DFO（HL），
∴BE=DF，
由垂径定理得：AB=2BE，CD=2DF，
∴AB=CD，
∴弧AB=弧CD，∠AOB=∠COD．
分析：（1）求出∠OEB=∠OFD=90°，∠EOB=∠FOD，证△EOB≌△FOD，即可推出OE=OF．
（2）证△EOB≌△FOD，推出BE=DF，根据垂径定理求出AB=CD，根据圆心角、弧、弦之间的关系即可得出答案．
点评：本题考查了全等三角形性质和判定，等腰三角形的性质和判定，垂径定理，圆心角、弧、弦之间的关系等知识点的应用，主要考查学生运用定理进行推理的能力．