Question

如图，△ABC中，BC=1，若D₁、E₁分别是AB、AC的中点，D₂、E₂分别是D₁B、E₁C的中点，D₃、E₃分别是D₂B、E₂C的中点，…，D_n、E_n分别是D_n-1B、E_n-1C的中点，则D₁E₁=

1

2

，进一步计算D₂E₂，D₃E₃，…，猜想D_nE_n=

2n-1

2n

（n≥1，且n为整数）．

Answer 1

分析：在△ABC中、BC=1，若D₁、E₁分别是AB、AC的中点，根据中位线定理先分别求出D₁E₁，D₂E₂，D₃E₃，然后观察规律，从而得出一般形式即可．

解答：解：在△ABC中、BC=1，若D₁、E₁分别是AB、AC的中点，根据中位线定理得：D₁E₁=

1

2

=

21-1

21

，
∵D₂、E₂分别是D₁B、E₁C的中点，
∴D₂E₂=

1

2

（

1

2

+1）=

3

4

=

22-1

22

，
∵D₃、E₃分别是D₂B、E₂C的中点，
则D₃E₃=

1

2

（

3

4

+1）=

7

8

=

23-1

23

，
…
根据以上可得：若D_n、E_n分别是D_n-1B、E_n-1C的中点，则D_nE_n=

2n-1

2n

，
故答案为：

1

2

，

2n-1

2n

，

点评：本题考查了梯形中位线定理，难度一般，关键是根据特殊找出一般的规律，进而得出答案．