题目内容
如图，以△ABC的边BC为弦，在点A的同侧画
交AB于D，且∠BDC=90°+
∠A，点P是
上的一个动点．（1）判定△ADC的形状，并说明理由；
（2）若∠A=70°，当点P运动到∠PBA=∠PBC=15°时，求∠ACB和∠ACP的度数．
（3）当点P在
上运动时，过点P画直线MN⊥AP，分别交AB、AC于点M、N，是否存在这样的点P，使得△BMP和△BPC和△CPN彼此相似？请说明理由．
【答案】分析：（1）根据三角形的内角和为180°与邻补角的性质，即可求得∠ACD=∠ADC，又由等角对等边，即可求得△ADC是等腰三角形；
（2）利用三角形的内角和定理，可得∠ACB=80°，根据已知即可求得∠BPC=∠BDC=125°，然后可得∠PCB与∠ACP的度数；
（3）由当点P运动至
的中点时，△BMP和△BPC和△CPN彼此相似，可得∠ABP=∠CBP，即可设∠A=x度，∠ABP=∠CBP=y度，利用方程表达可得∠PCB=∠ACP，即可得到∠BMP=∠CNP=90+
=∠BPC，问题得证．
解答：解：（1）∵△ADC是等腰三角形．
∵∠BDC=
，
∴∠ADC=
，
∴∠ACD=
-∠A=
，
∴∠ACD=∠ADC，
∴△ADC是等腰三角形．
（2）∵∠A=70°，∠PBA=∠PBC=15°，
∴∠ACB=180°-70°-2×15°=80°，
∵∠BPC=∠BDC=
，
∴∠PCB=180°-15°-125°=40°，
∴∠ACP=∠ACB-∠PCB=80°-40°=40°．
答：∠ACB为80°，∠ACP为40°．
（3）当点P运动至
的中点时，△BMP和△BPC和△CPN彼此相似．
∵P运动至
的中点，
∴∠ABP=∠CBP，
设∠A=x度，∠ABP=∠CBP=y度，
∴∠PCB=180-y-（
）=90-y-
，
∵∠ACB=180-x-2y，
∴∠ACP=∠ACB-∠PCB=（180-x-2y）-（90-y-
）=90-y-
，
∴∠PCB=∠ACP，
∴PC平分∠ACB．
∴当点P运动至
的中点时，点P是△ABC的角平分线的交点．
∴AP平分∠BAC．
∴∠BMP=∠CNP=90+
=∠BPC，
∴△BMP和△BPC和△CPN彼此相似．
点评：本题考查了三角形内角和定理，邻补角的性质以及相似三角形的判定与性质．解题的关键是方程思想与数形结合思想的应用．
（2）利用三角形的内角和定理，可得∠ACB=80°，根据已知即可求得∠BPC=∠BDC=125°，然后可得∠PCB与∠ACP的度数；
（3）由当点P运动至
的中点时，△BMP和△BPC和△CPN彼此相似，可得∠ABP=∠CBP，即可设∠A=x度，∠ABP=∠CBP=y度，利用方程表达可得∠PCB=∠ACP，即可得到∠BMP=∠CNP=90+=∠BPC，问题得证．解答：解：（1）∵△ADC是等腰三角形．
∵∠BDC=
，∴∠ADC=
，∴∠ACD=
-∠A=，∴∠ACD=∠ADC，
∴△ADC是等腰三角形．
（2）∵∠A=70°，∠PBA=∠PBC=15°，
∴∠ACB=180°-70°-2×15°=80°，
∵∠BPC=∠BDC=
，∴∠PCB=180°-15°-125°=40°，
∴∠ACP=∠ACB-∠PCB=80°-40°=40°．
答：∠ACB为80°，∠ACP为40°．
（3）当点P运动至
的中点时，△BMP和△BPC和△CPN彼此相似．∵P运动至
的中点，∴∠ABP=∠CBP，
设∠A=x度，∠ABP=∠CBP=y度，
∴∠PCB=180-y-（
）=90-y-，∵∠ACB=180-x-2y，
∴∠ACP=∠ACB-∠PCB=（180-x-2y）-（90-y-
）=90-y-，∴∠PCB=∠ACP，
∴PC平分∠ACB．
∴当点P运动至
的中点时，点P是△ABC的角平分线的交点．∴AP平分∠BAC．
∴∠BMP=∠CNP=90+
=∠BPC，∴△BMP和△BPC和△CPN彼此相似．
点评：本题考查了三角形内角和定理，邻补角的性质以及相似三角形的判定与性质．解题的关键是方程思想与数形结合思想的应用．
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