Question

如图①，E、F分别为线段AC上的两个动点，且DE⊥AC于E，BF⊥AC于F，若AB=CD，BF=DE，BD交AC于点M．
（1）求证：AE=CF，MB=MD；
（2）当E、F两点移动到如图②的位置时，其余条件不变，上述结论能否成立？若成立请给予证明；若不成立请说明理由．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质

专题：

分析：（1）利用“HL”证明△ABF和△CDE全等，根据全等三角形对应边相等可得AF=CE，然后求解即可得到AE=CF；再利用“角角边”证明△DEM和△BFM全等，根据全等三角形对应边相等证明即可；
（2）与（1）的证明思路完全相同．

解答：（1）证明：在△ABF和△CDE中，

AB=CD BF=DE

，
∴△ABF≌△CDE（HL），
∴AF=CE，
∴AF-EF=CE-EF，
即AE=CF，
在△DEM和△BFM中，

∠DEM=∠BFM ∠DME=∠BMF BF=DE

，
∴△DEM≌△BFM（AAS），
∴MB=MD；

（2）AE=CF，MB=MD仍然成立．
理由如下：在△ABF和△CDE中，

AB=CD BF=DE

，
∴△ABF≌△CDE（HL），
∴AF=CE，
∴AF+EF=CE+EF，
即AE=CF，
在△DEM和△BFM中，

∠DEM=∠BFM ∠DME=∠BMF BF=DE

，
∴△DEM≌△BFM（AAS），
∴MB=MD．

点评：本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题的关键．