Question

如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°．在边AB上取点D，在边AC取点E，AD=AE=1，连结DE并延长，与线段BC的延长线交于点P．
（1）当∠B=30°时，连结AP，若△AEP与△BDP相似，求CE的长；
（2）若CE=2，BD=BC，求BP的长．

Answer 1

解：（1）∵∠B=30°∠ACB=90°，
∴∠BAC=60°，
∵AD=AE，
∴∠AED=60°=∠CEP，
∴∠EPC=30°，
∴△BDP为等腰三角形，
∵△AEP与△BDP相似，
∴∠EAP=∠EPA=∠DBP=∠DPB=30°，
∴AE=EP=1，
在Rt△ECP中，EC=EP=；

（2）过点D作DF⊥AC于点F，如图，且设BD=BC=x，
∵∠ACB=90°
∴AB²=AC²+BC²，
而AD=AE=1，EC=2，
∴（1+x）²=3²+x²，解得x=4
即BD=BC=4，
∴AB=5，
∵DF∥BC，
∴△ADF∽△ABC，
∴，即==，
∴DF=，AF=，
∴EF=1-=，
∵△EDF∽△EPC，
∴，即=，
∴CP=4，
∴BP=4+4=8．
分析：（1）由∠B=30°∠ACB=90°得∠BAC=60°而AD=AE，所以∠AED=60°=∠CEP，则∠EPC=30°，于是可判断△BDP为等腰三角形，由于△AEP与△BDP相似，则∠EAP=∠EPA=∠DBP=∠DPB=30°，得到AE=EP=1，所以EC=EP=；
（2）过点D作DF⊥AC于点F，且设BD=BC=，根据勾股定理得到（1+x）²=3²+x²，解得x=4，即BD=BC=4，AB=5，证明△ADF∽△ABC，利用相似比计算出DF=，AF=，则EF=1-=，然后证明△EDF∽△EPC，利用相似比计算出CP=4，即可得到BP=8．
点评：本题考查了相似三角形的判定与性质：平行于三角形一边的直线截其他两边，所截得的三角形与原三角形相似；相似三角形对应边的比相等．也考查了含30°的直角三角形三边的关系．