如图.已知抛物线y=ax2-$\frac{3}{2}$x+c与x轴相交于A.B两点.并与直线y=x-2交于B.C两点.其中点C是直线y=$\frac{1}{2}$x-2与y轴的交点.连接AC．(1)求B.C两点坐标以及抛物线的解析式,(2)证明:△ABC为直角三角形,(3)△ABC内部能否截出面积最大的矩形DEFG?(顶点D.E.F.G在△ABC各边上)若能.求出最大面� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

6．

如图，已知抛物线y=ax²-$\frac{3}{2}$x+c与x轴相交于A、B两点，并与直线y=x-2交于B、C两点，其中点C是直线y=$\frac{1}{2}$x-2与y轴的交点，连接AC．
（1）求B、C两点坐标以及抛物线的解析式；
（2）证明：△ABC为直角三角形；
（3）△ABC内部能否截出面积最大的矩形DEFG？（顶点D、E、F、G在△ABC各边上）若能，求出最大面积；若不能，请说明理由．

分析（1）利用待定系数法把问题转化为方程组即可解决问题．
（2）根据勾股定理的逆定理即可判断．
（3）分两种情形求出矩形的面积的最大值①如图2中，当四边形EFGC是矩形时，此时△AGF∽△ACB∽△FEB．②如图3，当四边形EFGD是矩形时，此时△CDE∽△CAB∽△GAD，分别构建二次函数，利用二次函数的性质即可解决问题．

解答（1）解：∵直线y=$\frac{1}{2}$x-2交x轴、y轴于B、C两点，
∴B（4，0），C（0，-2），
∵y=ax²-$\frac{3}{2}$x+c过B、C两点，
∴$\left\{\begin{array}{l}{16a-6+c=0}\\{c=-2}\end{array}\right.$，
解得 $\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{1}{2}}\\{c=-2}\end{array}\right.$，
∴y=$\frac{1}{2}$x²-$\frac{3}{2}$x-2．

（2）证明：如图1，连接AC，

∵y=$\frac{1}{2}$x²-$\frac{3}{2}$x-2与x负半轴交于A点，
∴A（-1，0），
在Rt△AOC中，
∵AO=1，OC=2，
∴AC=$\sqrt{5}$，
在Rt△BOC中，
∵BO=4，OC=2，
∴BC=2$\sqrt{5}$，
∵AB=AO+BO=1+4=5，
∴AB²=AC²+BC²，
∴△ABC为直角三角形．

（3）解：△ABC内部可截出面积最大的矩形DEFG，面积为，理由如下：
①如图2中，当四边形EFGC是矩形时，此时△AGF∽△ACB∽△FEB．

设GC=x，AG=$\sqrt{5}$-x，
∵$\frac{AG}{AC}$=$\frac{FG}{CB}$，
∴$\frac{\sqrt{5}-x}{\sqrt{5}}$=$\frac{FG}{2\sqrt{5}}$，
∴GF=2$\sqrt{5}$-2x，
∴S=GC•GF=x•（2$\sqrt{5}$-2x）=-2x²+2$\sqrt{5}$x=-2（x-$\frac{\sqrt{5}}{2}$）²+$\frac{5}{2}$
即当x=$\frac{\sqrt{5}}{2}$时，S最大，为$\frac{5}{2}$．
②如图3，当四边形EFGD是矩形时，此时△CDE∽△CAB∽△GAD，

设GD=x，
∵$\frac{AD}{AB}$=$\frac{GD}{CB}$，
∴$\frac{AD}{5}$=$\frac{x}{2\sqrt{5}}$，
∴AD=$\frac{\sqrt{5}}{2}$x，
∴CD=CA-AD=$\sqrt{5}$-$\frac{\sqrt{5}}{2}$x，
∵$\frac{CD}{AC}$=$\frac{DE}{AB}$，
∴$\frac{\sqrt{5}-\frac{\sqrt{5}}{2}x}{\sqrt{5}}$=$\frac{DE}{5}$，
∴DE=5-$\frac{5}{2}$x，
∴S=GD•DE=x•（5-$\frac{5}{2}$x）=-$\frac{5}{2}$x²+5x=-$\frac{5}{2}$（x-1）²+$\frac{5}{2}$，
即x=1时，S最大，为$\frac{5}{2}$．
综上所述，△ABC内部可截出面积最大的矩形DEFG，面积为$\frac{5}{2}$．