Question

【题目】如图，已知抛物线经过点A（﹣1，0），B（4，0），C（0，2）三点，点D与点C关于轴对称，点P是轴上的一个动点，设点P的坐标为（，0），过点P做轴的垂线l交抛物线于点Q，交直线BD于点M．

（1）求该抛物线所表示的二次函数的表达式；

（2）点P在线段AB运动过程中，是否存在点Q，使得△BOD∽△QBM？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

（3）已知点F（0，），当点P在轴上运动时，试求为何值时，以D，M，Q，F为顶点的四边形是平行四边形？

Answer 1

【答案】（1）；（2）存在，；（3）-1或3或 或

【解析】

（1）利用待定系数法求解即可；

（2）由题意结合图象知△DOB∽△MBQ，△MBQ∽△QPB即△BOD∽△QPB，则有 ，由点的坐标可得，解之即可得此时m值；

（3）先利用待定系数法求出直线BD的解析式，进而得到点Q、M的坐标，再由QM∥DF且四边形DMQF是平行四边形知QM=DF，据此列出关于m的方程，解之即可.

（1）由抛物线过点A（﹣1，0）、B（4，0）可设解析式为y=a（x+1）（x﹣4），将点C（0，2）代入，得：﹣4a=2，解得：a=﹣，

则抛物线解析式为y=﹣（x+1）（x﹣4）=﹣；

（2）存在 ，理由为：

∵∠MBQ=90∴∠MBP+∠PBQ=90

∵∠MPB=∠BPQ=90，

∴∠MBQ+∠BMP=90，

∴∠PBQ=∠BMP，

∴△MBQ∽△QPB，

∵△DOB∽△MBQ，

∴△BOD∽△QPB，

∴，即，

解得：m1=3、m2=4，

当m=4时，点P、Q、M均与点B重合，不能构成三角形，舍去，

∴m=3，点Q的坐标为（3，2）；

（3）由题意知点D坐标为（0，﹣2），设直线BD解析式为y=kx+b，

将B（4，0）、D（0，﹣2）代入，得：，解得：，

∴直线BD解析式为y=x﹣2，∵QM⊥x轴，P（m，0），

∴Q（m，）、M（m，m﹣2），

则QM=|﹣（m﹣2）|=|﹣m2+m+4|，

∵F（0，）、D（0，﹣2），∴DF=，∵QM∥DF，

∴当|﹣m2+m+4|=时，四边形DMQF是平行四边形，解得：m=﹣1或m=3或

即m=﹣1或m=3或时，四边形DMQF是平行四边形；