Question

已知：如图，在?ABCD中，点E、F分别是AB、CD的中点，CE、AF与对角线BD分别相交于点G、H．
（1）求证：DH=HG=BG；
（2）如果AD⊥BD，求证：四边形EGFH是菱形．

Answer 1

证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB=CD．
∴△DHF∽△BHA，
∵点E、F分别是AB、CD的中点，
∴．
∴DH=．
同理：BG=．
∴DH=HG=GB=．

（2）连接EF，交BD于点O．
∵AB∥CD，AB=CD，点E、F分别是AB、CD的中点，
∴．
∴FO=EO，DO=BO．
∵DH=GB，
∴OH=OG．
∴四边形EGFH是平行四边形．
∵点E、O分别是AB、BD的中点，∴OE∥AD．
∵AD⊥BD，∴EF⊥GH．
∴?HEGF是菱形．
分析：（1）根据AB∥CD，利用平行线分线段成比例定理即可求证．则DH=BD，BG=BD，即可求证；
（2）连接EF，交BD于点O，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形即可证明四边形EGFH是平行四边形，根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形即可求证．
点评：本题主要考查了平行线分线段成比例定理，以及菱形的判定，正确理解定理是解决本题的关键．