题目内容

如图，已知二次函数图象的顶点坐标为C（1，1），直线y=kx+m的图象与该二次函数的图象交于A、B两点，其中A点坐标为（
5
2
，
13
4
），B点在y轴上，直线与x轴的交点为F，P为线段AB上的一个动点（点P与A、B不重合），过P作x轴的垂线与这个二次函数的图象交于E点．
（1）求k，m的值及这个二次函数的解析式；
（2）设线段PE的长为h，点P的横坐标为x，求h与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（3）D为直线AB与这个二次函数图象对称轴的交点，在线段AB上是否存在点P，使得以点P、E、D为顶点的三角形与△BOF相似？若存在，请求出P点的坐标；若不存在，请说明理由．
（1）设抛物线解析式为y=a（x-1）2+1
∵A(
5
2
，
13
4
)在抛物线上
∴
13
4
=a（
5
2
-1）2+1
∴a=1
∴二次函数解析式为y=（x-1）2+1（或y=x2-2x+2）
令x=0得：y=2
即B（0，2）在y=kx+m上
∴m=2
把(
5
2
，
13
4
)代入y=kx+2，
得k=
1
2
；

（2）h=
1
2
x+2-（x-1）2-1
=-x2+
5
2
x（0＜x＜
5
2
）；

（3）假设存在点P，①当∠PED=∠BOF=90°时，由题意可得△PED∽△BOF
则
-x2+
5
2
x
2
=
x-1
4

∴x=
2±
6
2
，
∵0＜x＜
5
2
，
∴x=
2-
6
2
（舍去）
而x=
2+
6
2
＜
5
2

∴存在点P，其坐标为(
2+
6
2
，
10+
6
4
)
②当∠PDE=∠BOF=90°时，
过点E作EK垂直于抛物线的对称轴，垂足为K．
由题意可得：△PDE∽△EKD，△PDE∽△BOF
∴△EKD∽△BOF
则
5
2
-(x2-2x+2)
4
=
x-1
2

∴x=±
10
2
．
∵0＜x＜
5
2
，x=-
10
2
舍去
而x=
10
2
＜
5
2
，
∴存在点P，其坐标为(
10
2
，
8+
10
4
)
综上所述存在点P满足条件，其坐标为
(
2+
6
2
，
10+
6
4
)，(
10
2
，
8+
10
4
)．
练习册系列答案
相关题目
已知二次函数y=ax2-4x+c的图象经过点A（-1，-1）和B（3，-9）．
（1）求该二次函数的解析式；
（2）填空：该抛物线的对称轴是______；顶点坐标是______；当x=______时，y随x的增大而减小．
如图，隧道的截面由抛物线AED和矩形ABCD构成，矩形的长BC为8m，宽AB为2m，以BC所在的直线为x轴，线段BC的中垂线为y轴，建立平面直角坐标系．y轴是抛物线的对称轴，顶点E到坐标原点O的距离为6m．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如果该隧道内设双行道，现有一辆货运卡车高4.2m，宽2.4米，这辆货运卡车能否通过该隧道？通过计算说明你的结论．
已知抛物线y=
1
4
x2+1（如图所示）．
（1）填空：抛物线的顶点坐标是（______，______），对称轴是______；
（2）已知y轴上一点A（0，2），点P在抛物线上，过点P作PB⊥x轴，垂足为B．若△PAB是等边三角形，求点P的坐标；
（3）在（2）的条件下，点M在直线AP上．在平面内是否存在点N，使四边形OAMN为菱形？若存在，直接写出所有满足条件的点N的坐标；若不存在，请说明理由．
在直角坐标系xOy中，二次函数y=
1
2
x2+
3
4
nx+2-m的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其中点A在点B的左边，若
∠ACB=90°，
CO
AO
+
BO
CO
=1
（1）求点C的坐标及这个二次函数的解析式．
（2）试设计两种方案：作一条与y轴不重合、与△ABC的两边相交的直线，使截得的三角形与△ABC相似，并且面积是△AOC面积的四分之一．求所截得的三角形三个顶点的坐标（说明：不要求证明）．
抛物线y=a（x+6）2-3与x轴相交于A，B两点，与y轴相交于C，D为抛物线的顶点，直线DE⊥x轴，垂足为E，AE2=3DE．
（1）求这个抛物线的解析式；
（2）P为直线DE上的一动点，以PC为斜边构造直角三角形，使直角顶点落在x轴上．若在x轴上的直角顶点只有一个时，求点P的坐标；
（3）M为抛物线上的一动点，过M作直线MN⊥DM，交直线DE于N，当M点在抛物线的第二象限的部分上运动时，是否存在使点E三等分线段DN的情况？若存在，请求出所有符合条件的M的坐标；若不存在，请说明理由．
为了改善小区环境，某小区决定要在一块一边靠墙（墙长25m）的空地上修建一个矩形绿化带ABCD，绿化带一边靠墙，另三边用总长为40m的栅栏围住（如图4）．若设绿化带的BC边长为xm，绿化带的面积为ym2．
（1）求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（2）当x为何值时，满足条件的绿化带的面积最大．
我市某工艺厂为配合2010年上海世博会，设计了一款成本为20元/件的工艺品投放市场进行试销．该工艺品每天试销情况经过调查，得到如下数据：
销售单价x（元/件）…30405060…
每天销售量y（件）…500400300200
（1）把上表中x、y的各组对应值作为点的坐标，在下面的平面直角坐标系中描出相应的点，猜想y与x的函数关系______；
（2）当销售单价定为多少时，工艺厂试销该工艺品每天获得的利润W最大？（利润=销售总价-成本总价）．
（3）当地物价部门规定，该工艺品销售单价最高不能超过45元/件，那么工艺厂试销该工艺品每天获得的利润最大是多少？
某果园有100棵橙子树，每一棵树平均结600个橙子，现准备多种一些橙子树以提高产量．根据经验估计，每多种一棵橙树，平均每棵树就会少结5个橙子．
（1）写出果园橙子的总产量y（个）与增种橙树的棵数x（棵）的函数关系式；
（2）求出当x取何值时y的值最大？y的值最大是多少？

违法和不良信息举报电话：027-86699610 举报邮箱：58377363@163.com

精英家教网