Question

如图所示，⊙O1与⊙O相交于A，B两点，过点A的直线交⊙O于点C，交⊙O1于点D，⊙O的弦BG的延长线交CD于F，交⊙O于E，⊙O1的直径BC＝CF．求证： (1) ∠DEF＝ (2) ∠EDF＝∠GCB (3) BC·EF＝BG·DF

Answer 1

答案：
解析：

(1)	如图所示，连结AB． 　　因为BC为⊙的直径，所以∠BGC＝∠BAC＝，所以∠BAD＝∠FCC＝．所以∠ACG＝∠ABG＝∠EDA．又因为∠DFE＝∠CFG，所以∠DEF＝∠FGC＝．
(2)	因为BC＝CF，∠FGC＝，所以∠FCG＝∠GCB．因为∠DEF＝∠FGC．∠DFE＝∠GFC，所以∠EDF＝∠FCG，所以∠EDF＝∠GCB．
(3)	在Rt△DEF和Rt△CGB中，因为∠EDF＝∠GCB，所以Rt△DEF∽Rt△CGB，所以＝，所以DF·BG＝BC·EF．