题目内容
28、（1）如图，已知∠MAN=120°，AC平分∠MAN，∠ABC=∠ADC=90°，则能得到如下两个结论：①DC=BC；②AD+AB=AC． 请你证明结论②．
（2）如图，把（1）中的条件“∠ABC=∠ADC=90°”改为∠ABC+∠ADC=180°，其他条件不变，则（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．
（3）如图3，如果D在AM的反向延长线上，把（1）中的条件“∠ABC=∠ADC=90°”改为∠ABC=∠ADC，其他条件不变，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请直接回答；若不成立，你又能得出什么结论，直接写出你的结论．
（2）如图，把（1）中的条件“∠ABC=∠ADC=90°”改为∠ABC+∠ADC=180°，其他条件不变，则（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．
（3）如图3，如果D在AM的反向延长线上，把（1）中的条件“∠ABC=∠ADC=90°”改为∠ABC=∠ADC，其他条件不变，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请直接回答；若不成立，你又能得出什么结论，直接写出你的结论．
分析：（1）由已知易证得△ADC≌△ABC，可得AD=AB，根据已知可得∠ACD=30°可得AC=2AD，即可得结论．
（2）以上结论仍成立；作辅助线CF⊥AD，CE⊥AB，首先证得△ACF≌△ACB，可得CF=CE，即可证得△CFD≌△CEB，即可得（1）中结论．
（3）同（2）理作辅助线可得DC=BC成立，AB-AD=AC．
（2）以上结论仍成立；作辅助线CF⊥AD，CE⊥AB，首先证得△ACF≌△ACB，可得CF=CE，即可证得△CFD≌△CEB，即可得（1）中结论．
（3）同（2）理作辅助线可得DC=BC成立，AB-AD=AC．
解答：解：（1）∵AC平分∠MAN，
∴∠DAC=∠BAC=60°，
∵∠ABC=∠ADC=90°，AC为公共边，
∴△ADC≌△ABC（AAS），
∴AD=AB，DC=BC①；
∵∠DCA=30°，
∴AC=2AD=AD+AB②；（3分）
（2）如图：作辅助线CF⊥AD，CE⊥AB，
∵AC平分∠MAN，
∴∠DAC=∠BAC=60°，
又∵CF⊥AD，CE⊥AB，且AC为公共边，
∴△ACF≌△ACE（AAS），即CF=CE①；
∵∠ABC+∠ADC=180°，∠MAN=120°，
∴∠DCB=180°-120°=60°，
∵在直角三角形AFC中∠ACF=30°，
∴∠DCA+∠FCB=30°，
∵在直角三角形AEC中∠DCA+∠DCE=30°，
∴∠FCB=∠DCE②；
由CF⊥AD，CE⊥AB，且已证得条件①②，
∴△CFD≌△CEB（AAS），
∴DC=BC；ED=FB；
∵在直角△ACF中，AC=2AE，在直角△ACB中，AC=2AB，即AC=AE+AB，
已证得ED=FB，
∴AC=AD+AB；（5分）
（3）①DC=BC成立；（1分）
②不成立，AB-AD=AC．（1分）
∴∠DAC=∠BAC=60°，
∵∠ABC=∠ADC=90°，AC为公共边，
∴△ADC≌△ABC（AAS），
∴AD=AB，DC=BC①；
∵∠DCA=30°，
∴AC=2AD=AD+AB②；（3分）
（2）如图：作辅助线CF⊥AD，CE⊥AB，
∵AC平分∠MAN，
∴∠DAC=∠BAC=60°，
又∵CF⊥AD，CE⊥AB，且AC为公共边，
∴△ACF≌△ACE（AAS），即CF=CE①；
∵∠ABC+∠ADC=180°，∠MAN=120°，
∴∠DCB=180°-120°=60°，
∵在直角三角形AFC中∠ACF=30°，
∴∠DCA+∠FCB=30°，
∵在直角三角形AEC中∠DCA+∠DCE=30°，
∴∠FCB=∠DCE②；
由CF⊥AD，CE⊥AB，且已证得条件①②，
∴△CFD≌△CEB（AAS），
∴DC=BC；ED=FB；
∵在直角△ACF中，AC=2AE，在直角△ACB中，AC=2AB，即AC=AE+AB，
已证得ED=FB，
∴AC=AD+AB；（5分）
（3）①DC=BC成立；（1分）
②不成立，AB-AD=AC．（1分）
点评：本题主要考查了三角形全等的判定，涉及到直角三角形、角平分线、三角形内角和定理等知识点，正确作出辅助线是解题的关键．
练习册系列答案
相关题目
=2，∠ADC=30°
30、如图，已知直线a，b与直线c相交，下列条件中不能判定直线a与直线b平行的是（ ）
如图，已知：DE∥BC，AB=14，AC=18，AE=10，则AD的长为（ ）A、
| ||
B、
| ||
C、
| ||
D、
|
13、如图，已知直线AB∥CD，∠1=50°，则∠2=