Question

如图，△ABC内接于⊙O，AB为⊙O的直径，过点C作⊙O的切线CM，D是CM上一点，连接BD，且∠DBC=∠CAB．
（1）求证：BD是⊙O的切线；
（2）连接OD，若∠ABC=30°，OA=4，求OD的长．

Answer 1

分析：（1）要证明BD是⊙O的切线，就是证明∠ABD=90°，通过直径所对的圆周角是直角得到∠ACB=90°，再进行角度代换即可．
（2）连DO，这也是常作的辅助线，再通过特殊角找到OD与OB的关系．

解答：解：（本题满分6分）
（1）证明：
∵AB是⊙O直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠CAB+∠CBA=90°．
∵∠DBC=∠CAB，
∴∠DBC+∠ABC=90°，
即∠ABD=90°．
∴BD是⊙O的切线．（2分）

（2）解：连接OC，OD．
∵DC，DB是⊙O切线，
∴DC=DB．（3分）
∵OC=OB，
∴OD垂直平分BC，
∴∠DBC+∠BDE=90°；
∵∠DBC+∠ABC=90°，
∴∠BDE=∠ABC；
∵∠ABC=30°，
∴∠BDE=30°，（5分）
∴OB=

1

2

OD；
∵OB=OA=4，
∴OD=8．（6分）

点评：熟练掌握运用切线的判定定理证明圆的切线．学会圆的常见辅助线的作法．记住30°所对的直角边是斜边的一半．