Question

如图，菱形OABC的边长为4，∠AOC=60°，垂直于x轴的直线l从y轴出发，沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度运动，设直线l与菱形OABC的两边分别交于点M、N（点M在点N的上方）
（1）求点A的坐标．
（2）设△OMN的面积为S，直线l的运动时间为t（秒）（0≤t≤6），求S关于t的关系式．
（3）当t=

3或3+

3

时，S值为3

3

．

Answer 1

分析：（1）已知了菱形的边长，过A作AD⊥OC于D，在直角三角形OAD中，可根据OA的长和∠AOC的度数求出OD和AD的长，即可得出A点坐标，将A的坐标向右平移4个单位即可得出B点坐标．
（2）当l过A点时，ON=OD=2，因此t=2；当l过C点时，ON=OC=4，此时t=4．因此本题可分三种情况：
①当0≤t≤2时，直线l与OA、OC两边相交，此时ON=t，MN=

3

t，根据三角形的面积公式即可得出S，t的函数关系式．
②当2＜t≤4时，直线l与AB、OC两边相交，此时三角形OMN中，NM的长与AD的长相同，而ON=t，由此就不难得出S，t的函数关系式．
③当4＜t≤6时，直线l与AB、BC两边相交，可设直线l与x轴交点为H，那么三角形OMN可以MN为底，OH为高来计算其面积．OH的长为t，而MN的长可通过MH-NH来求得，其中，MH可用OH和∠MOH的正切值求出，HN可用CH的长和∠BCH的正切值求出．据此可得出关于S，t的函数关系式．
（3）根据（2）中各函数的性质和各自的自变量的取值范围可得出S=3

3

时对应的t的值．

解答：解：（1）∵四边形OABC为菱形，菱形OABC的边长为4，
∴点C的坐标为（4，0），OA=AB=BC=CO=4．
过点A作AD⊥OC于D．
∵∠AOC=60°，
∴OD=2，AD=2

3

．
∴A（2，2

3

），B（6，2

3

）．

（2）直线l从y轴出发，沿x轴正方向运动与菱形OABC的两边相交有三种情况：
①0≤t≤2时，直线l与OA、OC两边相交，（如图①）．

∵MN⊥OC，
∴ON=t．
∴MN=ONtan60°=

3

t．
∴S=

1

2

ON•MN=

3

2

t²．
②当2＜t≤4时，直线l与AB、OC两边相交，（如图②）．

S=

1

2

ON•MN=

1

2

×t×2

3

=

3

t．
③当4＜t≤6时，直线l与AB、BC两边相交，（如图③）．

设直线l与x轴交于点H．
∵MN=2

3

-

3

（t-4）=6

3

-

3

t，
∴S=

1

2

OH•MN=

1

2

t（6

3

-

3

t）
=-

3

2

t²+3

3

t．

（3）由（2）知，当0≤t≤2时，S=

3

2

t²=3

3

，
解得：t=±

6

（都不合题意舍去），
当2＜t≤4时，S=

3

t=3

3

，
解得；t=3，
当4＜t≤6时，S=-

3

2

t²+3

3

t=3

3

，
解得：t=3+

3

或t=3-

3

＜4（不合题意舍去），
综上所述：当t=3或3+

3

时，S值为3

3

．
故答案为：3或3+

3

．

点评：此题主要考查了相似三角形的判定与性质以及一元二次方程的解法和菱形的性质、图形面积的求法、二次函数的应用等知识．注意分类讨论、数形结合的数学数形方法的应用．