Question

如图，直线y=kx+6与x、y轴分别交于E、F．点E坐标为（-8，0），点A的坐标为（-6，0），P（x，y）是直线y=kx+6上的一个动点．
（1）求k的值；
（2）若点P是第二象限内的直线上的一个动点，当点P运动过程中，试写出三角形OPA的面积S与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（3）探究：当P运动到什么位置时，三角形OPA的面积为

27

8

，并说明理由．

Answer 1

分析：（1）将点E的坐标（-8，0）代入直线y=kx+6，得到关于k的方程，解方程即可求出k的值；
（2）由点A的坐标为（-6，0）得到OA=6，求△OPA的面积时，可看作以OA为底边，高是P点的纵坐标的绝对值．再根据三角形的面积公式表示出△OPA的面积，从而求出其关系式；根据P点运动的范围可求出自变量x的取值范围；
（3）根据三角形的面积公式，由△OPA的面积为

27

8

，列出关于点P的纵坐标y的方程，解方程求出y的值，再代入直线的解析式求出x的值，即可得到P点的坐标．

解答：解：（1）∵点E（-8，0）在直线y=kx+6上，
∴0=-8k+6，
∴k=

3

4

；

（2）∵k=

3

4

，
∴直线的解析式为：y=

3

4

x+6，
∵点P（x，y）是第二象限内的直线y=

3

4

x+6上的一个动点，
∴y=

3

4

x+6＞0，-8＜x＜0．
∵点A的坐标为（-6，0），
∴OA=6，
∴S=

1

2

OA•|y_P|=

1

2

×6×（

3

4

x+6）=

9

4

x+18．
∴三角形OPA的面积S与x的函数关系式为：S=

9

4

x+18（-8＜x＜0）；

（3）∵三角形OPA的面积=

1

2

OA•|y_P|=

27

8

，P（x，y），
∴

1

2

×6×|y|=

27

8

，
解得|y|=

9

8

，
∴y=±

9

8

．
当y=

9

8

时，

9

8

=

3

4

x+6，
解得x=-

13

2

，故P（-

13

2

，

9

8

）；
当y=-

9

8

时，-

9

8

=

3

4

x+6，
解得x=-

19

2

，故P（-

19

2

，-

9

8

）；
综上可知，当点P的坐标为P（-

13

2

，

9

8

）或P（-

19

2

，-

9

8

）时，三角形OPA的面积为

27

8

．

点评：本题是一次函数的综合题，考查了一次函数图象上点的坐标特征，三角形面积公式的运用，难度适中．注意第三问中的点P（x，y）是直线y=kx+6上的一个动点，不能直接代入第二问所求的函数解析式，否则漏解，这是本题容易弄错的地方．