Question

4．在直角坐标系中，已知长方形OABC的两个顶点为A（4，0），B（4，3）．对角线AC所在直线为l．
（1）求线段AC的长；
（2）在y轴上是否存在使△ACP为等腰三角形的点P？如果有，请求出点P的坐标；如果没有，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据长方形OABC的顶点坐标求得AB=3，BC=4，根据勾股定理即可求得AC的长；
（2）若△ACP是等腰三角形，则可能PC=AC或PC=PA或PA=AC，分别分析求解即可．

解答 解：（1）∵长方形OABC的两个顶点为A（4，0），B（4，3）．
∴AB=3，BC=4，
∴AC=$\sqrt{A{B}^{2}+B{C}^{2}}$=5．
（2）①PC为腰且PC=AC时，
由题意可知，PC=AC=5，
∴OP=3+5=8．
∴P（0，8）；
②PC为腰且PC=PA时，
由题意可知，PC=$\frac{25}{6}$，
∴OP=PC-OC=$\frac{25}{6}$-3=$\frac{7}{6}$，
∴P（0，-$\frac{7}{6}$）
③PC为底且PA=AC时，
由题意得OC=OP=3，
∴P（0，-3）；
综上，在y轴上是存在使△ACP为等腰三角形的点P，点P的坐标为（0，8）或（0，-3）．

点评 本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、等腰三角形的判定，分类讨论是本题的重点和关键所在．