Question

已知直线y=kx+3经过点A（-4，0），且与y轴交于点B，点O为坐标原点．
（1）求k的值；
（2）求点O直线AB的距离；
（3）过点C（0，1）的直线把△AOB的面积分成相等的两部分，求这条直线的函数关系式．

Answer 1

分析：（1）因为直线y=kx+3经过点A（-4，0），所以把点A的坐标直接代入即可求出k的值；
（2）过点O作OP⊥AB于P，则线段OP的长即为点O直线AB的距离，根据△AOB的面积不变列式，即可求解；
（3）设所求过点C（0，1）的直线解析式为y=mx+1，△AOB被分成的两部分面积相等，那么被分成的两部分都应该是△AOB的面积的一半，分两种情况讨论：①直线y=mx+1与OA相交；②直线y=mx+1与AB相交．

解答：解：（1）依题意得：-4k+3=0，
解得k=

3

4

；

（2）由（1）得y=

3

4

x+3，
当x=0时，y=3，即点B的坐标为（0，3）．
如图，过点O作OP⊥AB于P，则线段OP的长即为点O直线AB的距离．
∵S_△AOB=

1

2

AB•OP=

1

2

OA•OB，
∴OP=

OA•OB

AB

=

4×3

5

=

12

5

；

（3）设所求过点C（0，1）的直线解析式为y=mx+1．
S_△AOB=

1

2

OA•OB=

1

2

×4×3=6．
分两种情况讨论：
①当直线y=mx+1与OA相交时，设交点为D，则
S_△COD=

1

2

OC•OD=

1

2

×1×OD=3，
解得OD=6．
∵OD＞OA，
∴OD=6不合题意舍去；
②当直线y=mx+1与AB相交时，设交点为E，则
S_△BCE=

1

2

BC•|x_E|=

1

2

×2×|x_E|=3，
解得|x_E|=3，
则x_E=-3，
当x=-3时，y=

3

4

x+3=

3

4

，
即E点坐标为（-3，

3

4

）．
将E（-3，

3

4

）代入y=mx+1，得-3m+1=

3

4

，
解得m=

1

12

．
故这条直线的函数关系式为y=

1

12

x+1．

点评：本题考查了运用待定系数法求函数的解析式，三角形的面积，一次函数的性质，难度适中，进行分类讨论是解题的关键．