题目内容

如图，抛物线y= $数学公式$ x²+bx+c的顶点为M，对称轴是直线x=1，与x轴的交点为A（-3，0）和B．将抛物线y= $数学公式$ x²+bx+c绕点B逆时针方向旋转90°，点M₁，A₁为点M，A旋转后的对应点，旋转后的抛物线与y轴相交于C，D两点．
（1）写出点B的坐标及求抛物线y= $数学公式$ x²+bx+c的解析式；
（2）求证：A，M，A₁三点在同一直线上；
（3）设点P是旋转后抛物线上DM₁之间的一动点，是否存在一点P，使四边形PM₁MD的面积最大？如果存在，请求出点P的坐标及四边形PM₁MD的面积；如果不存在，请说明理由．

（1）解：∵抛物线y= $\text{[math]}$ x²+bx+c的顶点为M，对称轴是直线x=1，与x轴的交点为A（-3，0）和B，
∴点B的坐标为（5，0），
$\text{[math]}$
解得 $\text{[math]}$ ，
∴抛物线解析式为y= $\text{[math]}$ x²- $\text{[math]}$ x- $\text{[math]}$ ．

（2）证明：由题意可得：把x=1代入抛物线解析式y= $\text{[math]}$ x²- $\text{[math]}$ x- $\text{[math]}$ ，
得：y=-4
则点M的坐标为（1，-4），
根据旋转和图象可得：点M₁的坐标为（9，-4），
点A₁的坐标为（5，-8），
设直线AM的表达式为y=kx+m．
则有 $\text{[math]}$ ，
解得 $\text{[math]}$ ，
则直线AM的表达式为y=-x-3．
把x=5代入y=-x-3，得y=-8．
即直线AM经过点A₁．
故A，M，A₁三点在同一直线上．

（3）解：存在点P使四边形PM₁MD的面积最大．连接M₁D，
∵S_△M1MD是定值，
∴要使四边形PM₁MD的面积最大，只要S_△M1PD最大，
将△M₁PD绕点B顺时针旋转90°，则点M₁与点M重合，
点P与点Q重合，点D与点F重合．点Q，F都在抛物线y= $\text{[math]}$ x²- $\text{[math]}$ x- $\text{[math]}$ ，
∴点F的坐标为（-5，5），
过点Q作QR∥y轴交FM于点R，设点Q的坐标为（n， $\text{[math]}$ n²- $\text{[math]}$ n- $\text{[math]}$ ），
设直线MF的表达式为y=px+q，
则有 $\text{[math]}$ ，
解得 $\text{[math]}$ ，

则直线MF的表达式为y=- $\text{[math]}$ x- $\text{[math]}$ ，
设直线MF上有一点R（m，- $\text{[math]}$ m- $\text{[math]}$ ），则
S_△M1PD= $\text{[math]}$ ×6×（- $\text{[math]}$ m- $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ m²+ $\text{[math]}$ m+ $\text{[math]}$ ），
=- $\text{[math]}$ m²-3m+ $\text{[math]}$ ，
=- $\text{[math]}$ （m+2）²+ $\text{[math]}$ ，
∴当m=-2时，S_{△M1PD最大}= $\text{[math]}$ ，
若m=-2时， $\text{[math]}$ m²- $\text{[math]}$ m- $\text{[math]}$ =- $\text{[math]}$ ，
所以，点Q（-2，- $\text{[math]}$ ），
故点P的坐标为（ $\text{[math]}$ ，-7），
∵点M的坐标为（1，-4），点M₁的坐标为（9，-4），
∴S_△DM1M的面积为 $\text{[math]}$ ×6×8=24，四边形PM₁MD的面积为24+ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
∴存在点P（ $\text{[math]}$ ，-7）使四边形PM₁MD的面积最大，面积最大值为 $\text{[math]}$ ．
分析：（1）根据抛物线的对称性即可写出B的坐标，根据对称轴是直线x=1，与x轴的交点为A（-3，0）代入即可得到方程- $\text{[math]}$ =1，0= $\text{[math]}$ -3b+c，解由这两个组成的方程，即可求出b、c的值，即可得到答案；
（2）把x=1代入抛物线解析式即可得到M的坐标，根据旋转和图象即可求出M₁、A₁的坐标，设直线AM的表达式为y=kx+m，把A、M的坐标代入即可求出直线AM的解析式，把A₁的坐标代入即可得到答案；
（3）存在点P使四边形PM₁MD的面积最大．连接M₁D，只要S_△M1PD最大，先代入抛物线的解析式求出F的坐标，设点Q的坐标为（n， $\text{[math]}$ n²- $\text{[math]}$ n- $\text{[math]}$ ），设直线MF的表达式为y=px+q，把M、F的坐标代入即可求出直线MF的解析式，设直线MF上有一点R（m，- $\text{[math]}$ m- $\text{[math]}$ ），求出S_△M1PD=- $\text{[math]}$ （m+2）²+ $\text{[math]}$ 的最大值，求出m的值，进一步求出Q、P的坐标，再求出四边形PM₁MD的面积即可．
点评：本题主要考查了对一次函数的图象上点的坐标特征，用待定系数法求一次函数、二次函数的解析式，二次函数的图象上点的坐标特征，解一元一次方程，旋转，三角形的面积，解二元一次方程组等知识点的理解和掌握，能综合运用这些性质进行计算是解此题的关键，此题是一个综合性较强的题目，有一定的难度．