题目内容

如图1，直线L：y=-x+3与x轴、y轴分别交于点B、点C，经过B、C两点的抛物线G：y=ax2+bx+c与x轴的另一交点为A，顶点为P，且对称轴是直线x=2．
（1）该抛物线G的解析式为______；
（2）将直线L沿y轴向下平移______个单位长度，能使它与抛物线G只有一个公共点；
（3）若点E在抛物线G的对称轴上，点F在该抛物线上，且以点A、B、E、F为顶点的四边形为平行四边形，求点E与点F坐标并直接写出平行四边形的周长．
（4）连接AC，得△ABC．若点Q在x轴上，且以点P、B、Q为顶点的三角形与△ABC相似，求点Q的坐标．
（1）当x=0时，y=3，
当y=0时，-x+3=0，解得x=3，
∴点B、C的坐标为B（3，0），C（0，3），
又∵抛物线过x轴上的A，B两点，且对称轴为x=2，
根据抛物线的对称性，
∴点A的坐标为（1，0），
∴
a+b+c=0
9a+3b+c=0
c=3
，
解得
a=1
b=-4
c=3
，
∴抛物线的解析式为y=x2-4x+3；

（2）设平移后的直线解析式为y=-x+b，
则
y=-x+b
y=x2-4x+3
，
∴x2-3x+3-b=0，
∵它与抛物线G只有一个公共点，
∴△=b2-4ac=（-3）2-4×1×（3-b）=9-12+4b=0，
解得b=
3
4
，
3-
3
4
=
9
4
，
∴向下平移了
9
4
个单位；

（3）∵A（1，0），B（3，0），
∴AB=3-1=2，
①当AB是边时，∵点E在对称轴上，平行四边形的对边平行且相等，
∴EF=AB=2，
∴点F的横坐标为0或4，
当横坐标为0时，y=02-4×0+3=3，
当横坐标为4时，y=42-4×4+3=3，
∴点F的坐标为F1（0，3）或F2（4，3），
此时点E的坐标为E1（2，3），
此时AE=
12+32
=
10
，
∴平行四边形的周长为：2（AB+AE）=2（2+
10
）=4+2
10
；
②当AB边为对角线时，EF与AB互相垂直平分，
∵y=x2-4x+3=（x-2）2-1，
∴此时点E、F的坐标为E2（2，1），F3（2，-1），
∴AE=
12+12
=
2
，
AF=
12+12
=
2
，
∴平行四边形的周长为：2（AE+AF）=2（
2
+
2
）=4
2
，
综上所述，点E、F的坐标分别为E1（2，3），F1（0，3）或F2（4，3），此时平行四边形的周长为4+2
10
，
或E2（2，1），F3（2，-1），此时平行四边形的周长为4
2
；

（4）连接PB，由y=x2-4x+3=（x-2）2-1，得P（2，-1），
设抛物线的对称轴交x轴于点M，
∵在Rt△PBM中，PM=MB=1，
∴∠PBM=45°，PB=
2
．
由点B（3，0），C（0，3）易得OB=OC=3，在等腰直角三角形OBC中，∠ABC=45°，
由勾股定理，得BC=3
2
．
假设在x轴上存在点Q，使得以点P，B，Q为顶点的三角形与△ABC相似．
①PB与AB是对应边时，∵∠PBQ=∠ABC=45°，
∴
BQ
BC
=
PB
AB
，
即
BQ
3
2
=
2
2
，
解得BQ=3，
又∵BO=3，
∴点Q与点O重合，
∴Q1的坐标是（0，0），
②PB与BC是对应边时，∵∠PBQ=∠ABC=45°，
∴
QB
AB
=
PB
BC
，
即
QB
2
=
2
3
2
，
解得QB=
2
3
，
∵OB=3，
∴OQ=OB-QB=3-
2
3
=
7
3
，
∴Q2的坐标是（
7
3
，0），
③∵∠PBx=180°-45°=135°，∠BAC＜135°，
∴∠PBx≠∠BAC．
∴点Q不可能在B点右侧的x轴上
综上所述，在x轴上存在两点Q1（0，0），Q2（
7
3
，0），能使得以点P，B，Q为顶点的三角形与△ABC相似．
练习册系列答案
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1
a
yH．
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（1）求该抛物线的解析式；
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3
），C（0，2
3
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