Question

已知一次函数y=kx+b（k≠0）和反比例函数的图象交于点A（1，1）．
（1）求两个函数的解析式；
（2）若点B是x轴上一点，且△AOB是直角三角形，求B点的坐标．
（3）在（2）条件中，把直角三角形改成等腰三角形，直接写出B点的坐标．

Answer 1

【答案】分析：（1）把点A的坐标代入反比例函数解析式求出k的值，然后把k的值以及点A的坐标代入一次函数解析式求出b的值，从而得解；
（2）先求出AO与x轴的夹角，再分AO是直角边与斜边两种情况利用锐角三角函数值求出OB的长度，从而求出点B的坐标；
（3）利用勾股定理求出AO得到长度，然后分①AO是底边时，②AO是腰长时两种情况解答．
解答：解：（1）把点A（1，1）代入反比例函数解析式得，=1，
解得k=2，
∴反比例函数解析式为y=；
又∵点A（1，1）也在直线y=kx+b上，
∴2×1+b=1，
解得b=-1，
∴直线的解析式为y=2x-1；

（2）∵A点坐标为A（1，1），
∴AO==，且AO与x轴的夹角为45°，
如图1，①当AO为斜边时，OB=AB=1，
∴点B的坐标为（1，0），
②当AO为直角边时，OB=AO=2，
∴点B的坐标为（2，0），
综上所述，点B的坐标为（1，0）或（2，0）；


（3）如图2所示，①AO是底边时，点B的坐标为（1，0）；
②AO是腰长时，点B的坐标为（2，0）或（，0）或（-，0）．
综上所述，点B的坐标为：（1，0）或（2，0）或（，0）或（-，0）．
点评：本题是对反比例函数的综合考查，有待定系数法求函数解析式，坐标与图形的性质，等腰直角三角形以及直角三角形的性质，根据题意作出图形更加形象直观且不容易出错．