Question

如图，在△ABC中，P、Q、R将其周长三等分，且P、Q在AB上，求证：

S△PQR

S△ABC

＞

2

9

．

Answer 1

分析：首先作△ABC和△PQR的高，将三角形的面积比化成线段的乘积比，并利用平行线分线段成比例定理，把其中两条高的比转换成三角形边上线段的比；然后设△ABC的周长为1，可得PQ=

1

3

，AB＜

1

2

，根据不等式的性质，求得

PQ

AB

与

AR

AC

的值，则可证得

S△PQR

S△ABC

＞

2

9

．

解答：证明：作CL⊥AB于L，RH⊥PQ于H，
∴RH∥CL，
∴

AR

AC

=

RH

CL

，
则

S△PQR

S△ABC

=

PQ•RH

AB•CL

=

PQ•AR

AB•AC

，
不妨设△ABC的周长为1，则PQ=

1

3

，AB＜

1

2

，
∴

PQ

AB

＞

2

3

．
∵AP≤AP+BQ=AB-PQ＜

1

2

-

1

3

=

1

6

，
∴AR=

1

3

-AP＞

1

3

-

1

6

=

1

6

，
又AC＜

1

2

，从而

AR

AC

＞

1

3

，
∴

S△PQR

S△ABC

＞

2

3

×

1

3

=

2

9

，
∴

S△PQR

S△ABC

＞

2

9

．

点评：此题考查了三角形面积的求解方法，平行线分线段成比例定理，三角形的三边关系等知识．此题难度较大，解题的关键是注意数形结合思想的应用，还要注意辅助线的作法．