Question

已知抛物线y=ax²+bx+c的图象交x轴于点A（x₀，0）和点B（2，0），与y轴的正半轴交于点C，其对称轴是直线x=﹣1，tan∠BAC=2，点A关于y轴的对称点为点D．
（1）确定A、C、D三点的坐标；
（2）求过B、C、D三点的抛物线的解析式；
（3）若过点（0，3）且平行于x轴的直线与（2）小题中所求抛物线交于M、N两点，以MN为一边，抛物线上任意一点P（x，y）为顶点作平行四边形，若平行四边形的面积为S，写出S关于P点纵坐标y的函数解析式；
（4）当＜x＜4时，（3）小题中平行四边形的面积是否有最大值？若有，请求出；若无，请说明理由．

Answer 1

解：（1）∵点A与点B关于直线x=﹣1对称，点B的坐标是（2，0）
∴点A的横坐标是=﹣1，x₀=﹣4，
故点A的坐标是（﹣4，0）
∵tan∠BAC=2即=2，可得OC=8
∴C（0，8）
∵点A关于y轴的对称点为D
∴点D的坐标是（4，0）
（2）设过三点的抛物线解析式为y=a（x﹣2）（x﹣4）
代入点C（0，8），解得a=1
∴抛物线的解析式是y=x²﹣6x+8；
（3）∵抛物线y=x²﹣6x+8与过点（0，3）平行于x轴的直线相交于M点和N点
∴M（1，3），N（5，3），|MN|=4，而抛物线的顶点为（3，﹣1）
当y＞3时，S=4（y﹣3）=4y﹣12
当﹣1≤y＜3时，S=4（3﹣y）=﹣4y+12
（4）以MN为一边，P（x，y）为顶点，
且当＜x＜4的平行四边形面积最大，只要点P到MN的距离h最大
∴当x=3，y=﹣1时，h=4S=|MN|h=4×4=16
∴满足条件的平行四边形面积有最大值16．