题目内容

一张半径为2的半圆图纸沿它的一条弦折叠，使其弧与直径相切，如图所示，O为半圆圆心，如果切点分直径之比为3：1，则折痕长为

A.
3
B.
$数学公式$
C.
$数学公式$
D.
2 $数学公式$

C
分析：过O作弦BC的垂线OP，垂足为D，分别与弧的交点为A、G，过切点F作PF⊥半径OC交OP于P点，根据垂径定理及其推论得到BD=DC，即OP为BC的中垂线，OP必过弧BGC所在圆的圆心，再根据切线的性质得到PF必过弧BGC所在圆的圆心，则点P为弧BGC所在圆的圆心，根据折叠的性质有⊙P为半径等于⊙O的半径，即PF=PG=OE=2，并且AD=GD，由F点分⊙O的直径为3：1两部分可计算出OF=1，在Rt△OPF中，设OG=x，利用勾股定理可计算出x，则由AG=PG-AP计算出AG，可得到DG的长，于是可计算出OD的长，在Rt△OBD中，利用勾股定理计算BD，即可得到BC的长．
解答：过O作弦BC的垂线OP，垂足为D，分别与弧的交点为A、G，过切点F作PF⊥半径OC交OP于P点，如图，

∵OP⊥BC，
∴BD=DC，即OP为BC的中垂线，
∴OP必过弧BGC所在圆的圆心，
又∵OE为弧BGC所在圆的切线，PF⊥OE，
∴PF必过弧BGC所在圆的圆心，
∴点P为弧BGC所在圆的圆心，
∵弧BAC沿BC折叠得到弧BGC，
∴⊙P为半径等于⊙O的半径，即PF=PG=OE=2，并且AD=GD，
∴OG=AP，
而F点分⊙O的直径为3：1两部分，
∴OF=1，
在Rt△OPF中，设OG=x，则OP=x+2，
∴OP²=OF²+PF²，即（x+2）²=1²+2²，解得x= $\text{[math]}$ -2，
∴AG=2-（ $\text{[math]}$ -2）=4- $\text{[math]}$ ，
∴DG= $\text{[math]}$ =2- $\text{[math]}$ ，
∴OD=OG+DG= $\text{[math]}$ -2+2- $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
在Rt△OBD中，BD²=OB²+OD²，即BD²=2²-（ $\text{[math]}$ ）²，
∴BD= $\text{[math]}$ ，
∴BC=2BD= $\text{[math]}$ ．
故选C．
点评：本题考查了圆的综合知识，注意折叠后两图形全等，即对应线段相等，对应角相等．也考查了垂径定理、切线的性质以及勾股定理．