题目内容

在矩形ABCD中，AB=2，AD=4，以AB的垂直平分线为x轴，AB所在的直线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系．
（1）求点的坐标：A，B，C，，AD的中点E__；
（2）求以E为顶点，对称轴平行于y轴，并且经过点B，C的抛物线的解析式；
（3）求对角线BD与上述抛物线除点B以外的另一交点P的坐标；
（4）△PEB的面积S_△PEB与△PBC的面积S_△PBC具有怎样的关系？证明你的结论．

解：（1）A（0，1），B（0，-1），C（4，-1），D（4，1），E（2，1）；

（2）设抛物线的解析式为y=a（x-2）²+1，
∵抛物线经过点B（0，-1），
∴a（0-2）²+1=-1，解得a=- $\text{[math]}$ ，
∴抛物线的解析式为y=- $\text{[math]}$ （x-2）²+1，
经验证，抛物线y=- $\text{[math]}$ （x-2）²+1经过点C（4，-1）；

（3）直线BD的解析式为y= $\text{[math]}$ x-1，解方程组得点P的坐标：P（3， $\text{[math]}$ ）；

（4）S_△PEB= $\text{[math]}$ S_△PBC•S_△PBC= $\text{[math]}$ ×4× $\text{[math]}$ =3，S_△PEB= $\text{[math]}$ ×（1×2+1×1）= $\text{[math]}$ ，
∴S_△PEB= $\text{[math]}$ S_△PBC．
分析：（1）根据题意和图象可知OA=OB=1，AD=BC=4，所以（0，1），B（0，-1），C（4，-1），D（4，1），E（2，1）；
（2）根据题意可设抛物线的解析式为y=a（x-2）²+1，把点B（0，-1）代入可得a=- $\text{[math]}$ ，即可求得二次函数的解析式；
（3）利用直线BD的解析式为y= $\text{[math]}$ x-1，和抛物线解析式联立成方程组即可求得交点坐标为P（3， $\text{[math]}$ ）；
（4）分别求出S_△PEB= $\text{[math]}$ S_△PBC•S_△PBC= $\text{[math]}$ ×4× $\text{[math]}$ =3，S_△PEB= $\text{[math]}$ ×（1×2+1×1）= $\text{[math]}$ ，从而证明S_△PEB= $\text{[math]}$ S_△PBC．
点评：主要考查了坐标的对称特点和二次函数中的有关性质．本题是数形结合的综合题，要熟练运用解析式与点的坐标之间的关系求解．把几何图形有机的和二次函数结合起来．