Question

如图，⊙O的直径AB交弦CD于点M，且M是CD的中点，过点B作BE∥CD，交AC的延长线于点E，连接BC。

（1）求证：BE为⊙O的切线；
（2）如果CD=6，tan∠BCD=，求⊙O的直径的长。

Answer 1

解：（1）证明：∵AB是⊙O的直径，M是CD的中点，
∴CD⊥AB，
∴∠AMC=90°，
∵BE∥CD，
∴∠AMC=∠ABE，
∴∠ABE=90°，即AB⊥BE，
又∵B是⊙O上的点，
∴BE是⊙O的切线；
（2）∵M是CD的中点，CD=6，
∴CM=CD=3，
在Rt△BCM中，
∵tan∠BCD=，
∴，
∴BM=，
又∵AB是⊙O的直径，
∠ACB=90°，
∵CM⊥AB于M，
∴Rt△AMC∽Rt△CMB，
∴，
∴，
∴，
∴AM=6，
∴AB=AM+BM=6+，
即：⊙O的直径的长为。