Question

如图，已知∠MON=90°，A是∠MON内部的一点，过点A作AB⊥ON，垂足为点B，AB=3厘米，OB=4厘米，动点E，F同时从O点出发，点E以1.5厘米/秒的速度沿ON方向运动，点F以2厘米/秒的速度沿OM方向运动，EF与OA交于点C，连接AE，当点E到达点B时，点F随之停止运动．设运动时间为t秒（t＞0）．
（1）当t=1秒时，△EOF与△ABO是否相似？请说明理由；
（2）在运动过程中，不论t取何值时，总有EF⊥OA．为什么？
（3）连接AF，在运动过程中，是否存在某一时刻t，使得S_△AEF=S_{四边形ABOF}？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）△EOF∽△ABO．理由见解析
（2）理由见解析
（3）存在，当t=或t=时，S_△AEF=S_{四边形ABOF}．

试题分析：（1）由=及∠MON=∠ABE=90°，可得出△EOF∽△ABO．
（2）证明Rt△EOF∽Rt△ABO，进而证明EF⊥OA．
（3）由已知S_△AEF=S_{四边形ABOF}．得出S_△FOE+S_△ABE=S_梯形ABOF，从而可求出t的值．
试题解析：（1）∵t=1，
∴OE=1.5厘米，OF=2厘米，
∵AB=3厘米，OB=4厘米，
∴，
∵∠MON=∠ABE=90°，
∴△EOF∽△ABO．
（2）在运动过程中，OE=1.5t，OF=2t．
∵AB=3，OB=4．
∴．
又∵∠EOF=∠ABO=90°，
∴Rt△EOF∽Rt△ABO．
∴∠AOB=∠EOF．
∵∠AOB+∠FOC=90°，
∴∠EOF+∠FOC=90°，
∴EF⊥OA．
（3）如图，连接AF，

∵OE=1.5t，OF=2t，
∴BE=4﹣1.5t
∴S_△FOE=OE•OF=×1.5t×2t=t²，S_△ABE=×（4﹣1.5t）×3=6﹣t，
S_梯形ABOF=（2t+3）×4=4t+6
∵S_△AEF=S_{四边形ABOF}
∴S_△FOE+S_△ABE=S_梯形ABOF，
∴t²+6﹣t=（4t+6），即6t²﹣17t+12=0，
解得t=或t=．
∴当t=或t=时，S_△AEF=S_{四边形ABOF}．