题目内容
【题目】综合与探究
如图，等腰直角
中，
，
，现将该三角形放置在平面直角坐标系中，点
坐标为
，点
坐标为
.
（1）过点
作
轴，求
的长及点的坐标；
（2）连接
，若
为坐标平面内异于点的点，且以
、、为顶点的三角形与
全等，请直接写出满足条件的点的坐标；
（3）已知
，试探究在
轴上是否存在点
，使
是以为腰的等腰三角形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）4，
；（2）
或
或
；（3）
或
或
【解析】
（1）先根据
证明
，然后根据全等三角形的性质得出
、
的长即可得出点
的坐标；
（2）做
关于
轴的对称图形得到
；做关于
轴的对称图形得到
；做关于轴的对称图形得到
，根据对称图形的性质即可知道所作的图形全等，即可写出点
的坐标；
（3）当以点为顶点时有一个点符合，当以点
为顶点时分钝角三角形和锐角三角形即可求解.
（1）∵点
坐标为
，点
坐标为
∴
∵
∴
∵
轴
∴
∴
∴
又∵
，
∴
∴
∴
∴ 点的坐标为
（2）①做关于轴的对称图形得到，
∴
∴点
的坐标为；
②∵点和点关于对称
∴做关于轴的对称图形得到
∴
∴点
的坐标为；
③做关于轴的对称图形得到，
∴
∴
∴点
的坐标为
∴综上所述点的坐标为或或；
（3）①当以点为顶点时，且
是腰
∵轴
∴可以做点关于的对称点
∴点的坐标为
∴是
的垂直平分线
∴
∴
是以
为腰的等腰三角形；
②当以点为顶点时，且是腰，形成锐角三角形时，
即
∴点
的坐标为；
②当以点为顶点时，且是腰，形成钝角三角形时，
即
∴点
的坐标为
∴综上所述点
的坐标为或或
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