题目内容
【题目】已知：如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，CD⊥AD，AD2＋CD2＝2AB2．
（1）求证：AB＝BC；
（2）当BE⊥AD于E时，试证明：BE＝AE＋CD．
【答案】（1）（2）证明见解析
【解析】
（1）题目中存在直角，垂直，含线段平方的等式，因此考虑连接AC，构造直角三角形，利用勾股定理证明
（2）可采用“截长”法证明，过点C作CF⊥BE于F，易证CD=EF，只需再证明AE=BF即可，这一点又可通过全等三角形获证.
解：（1）证明：连接AC。
∵∠ABC＝90°，∴AB2＋BC2＝AC2。
∵CD⊥AD，∴AD2＋CD2＝AC2。
∵AD2＋CD2＝2AB2，
∴AB2＋BC2＝2AB2
∴AB＝BC。
（2）证明：过C作CF⊥BE于F
∵BE⊥AD，∴四边形CDEF是矩形
∴CD＝EF
∵∠ABE＋∠BAE＝90°，∠ABE＋∠CBF＝90
∴∠BAE＝∠CBF。
又∵AB＝BC，∠BEA＝∠CFB，
∴△BAE≌△CBF（AAS）
∴AE＝BF。
∴BE＝BF＋EF ＝AE＋CD
练习册系列答案
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