Question

如图，△ABC中，∠BAC=60°，∠ABC=45°，AB=2，D是线段BC上的一个动点，以AD为直径画⊙O分别交AB，AC于E，F，连接EF，则线段EF长度的最小值为　　．

Answer 1

考点：

垂径定理；圆周角定理；解直角三角形。

分析：

由垂线段的性质可知，当AD为△ABC的边BC上的高时，直径AD最短，此时线段EF最短，连接OE，OF，过O点作OH⊥EF，垂足为H，在Rt△ADB中，解直角三角形求直径AD，由圆周角定理可知∠EOH=∠EOF=∠BAC=60°，在Rt△EOH中，解直角三角形求EH，由垂径定理可知EF=2EH．

解答：

解：如图，连接OE，OF，过O点作OH⊥EF，垂足为H，

∵在Rt△ADB中，∠ABC=45°，AB=2，

∴AD=BD=2，即此时圆的直径为2，

由圆周角定理可知∠EOH=∠EOF=∠BAC=60°，

∴在Rt△EOH中，EH=OE•sin∠EOH=1×=，

由垂径定理可知EF=2EH=，

故答案为：．

点评：

本题考查了垂径定理，圆周角定理，解直角三角形的综合运用．关键是根据运动变化，找出满足条件的最小圆，再解直角三角形．