Question

已知关于x的一元二次方程x²+（m+3）x+m+1=0．
（1）求证：无论m取何值，原方程总有两个不相等的实数根；
（2）若x₁，x₂是原方程的两根，且x₁²+x₂²=5，求m的值，并求出此时方程的两根．

Answer 1

分析：（1）表示出根的判别式，配方后得到根的判别式大于0，进而确定出方程总有两个不相等的实数根；
（2）利用根与系数的关系可以得到如果把所求代数式利用完全平方公式变形，结合前面的等式即可求解．

解答：（1）证明：△=（m+3）²-4（m+1）=m²+6m+9-4m-4=m²+2m+5=（m+1）²+4，
∵（m+1）²≥0，
∴（m+1）²+4＞0，
则无论m取何实数时，原方程总有两个不相等的实数根；
（2）解：∵这个方程的两个实数根为x₁、x₂，
∴x₁+x₂=-（m+3），x₁•x₂=m+1，
而x₁²+x₂²=5，
∴（x₁+x₂）²-2x₁•x₂=5，
∴（m+3）²-2（m+1）=5，
∴m²-4m+2=0，
解得∴m=-2+

2

或-2-

2

．
当m=-2+

2

时，
x²+（1+

2

）x+

2

-1=0．
解得x₁=

- 2 -1+ 7-2 2

2

，x₂=

- 2 -1- 7-2 2

2

；
当m=-2-

2

时，
x²+（1-

2

）x-

2

-1=0．
解得x₁=

2 -1+ 7+2 2

2

，x₂=

2 -1- 7+2 2

2

．

点评：本题主要考查一元二次方程根的判别式和根与系数的关系的应用，同时考查了解方程的综合应用能力及推理能力．