Question

【题目】（请在括号里注明重要的推理依据）

如图，已知AM∥BN，∠A=60°．点P是射线AM上一动点（与点A不重合），BC、BD分别平分∠ABP和∠PBN，分别交射线AM于点C，D．

（1）求∠CBD的度数；

（2）当点P运动时，∠APB与∠ADB之间的数量关系是否随之发生变化？若不变化，请写出它们之间的关系，并说明理由；若变化，请写出变化规律．

（3）当点P运动到使∠ACB=∠ABD时，∠ABC的度数是　　．

Answer 1

【答案】（1）∠CBD=60°；（2）不变化，∠APB=2∠ADB，证明见解析；（3）∠ABC=30°.

【解析】
试题分析：（1）由平行线的性质可求得∠ABN，再根据角平分线的定义和整体思想可求得∠CBD；
（2）由平行线的性质可得∠APB=∠PBN，∠ADB=∠DBN，再由角平分线的定义可求得结论；
（3）由平行线的性质可得到∠ACB=∠CBN=60°+∠DBN，结合条件可得到∠DBN=∠ABC，且∠ABC+∠DBN=60°，可求得∠ABC的度数．

试题解析： （1）∵AM∥BN，

∴∠A+∠ABN=180°，（两直线平行，同旁内角互补）

∵∠A=60°

∴∠ABN=120°

∵BC、BD分别平分∠ABP和∠PBN，

∴∠CBP=∠ABP, ∠DBP=∠NBP,

∴∠CBD=∠ABN=60°

（2）不变化，∠APB=2∠ADB

证明∴ ∵AM∥BN，

∴∠APB=∠PBN （两直线平行，内错角相等）

∠ADB=∠DBN （两直线平行，内错角相等）

又∵BD平分∠PBN，

∴∠PBN =2∠DBN

∴∠APB=2∠ADB

（3）∠ABC=30°