Question

【题目】如图①，若直线交轴于点、交轴于点，将绕点逆时针旋转得到．过点，，的抛物线．

求抛物线的表达式；

若与轴平行的直线以秒钟一个单位长的速度从轴向左平移，交线段于点、交抛物线于点，求线段的最大值；

如图②，点为抛物线的顶点，点是抛物线在第二象限的上一动点（不与点、重合），连接，以为边作图示一侧的正方形．随着点的运动，正方形的大小、位置也随之改变，当顶点或恰好落在轴上时，直接写出对应的点的坐标．

Answer 1

【答案】（1）；（2）当时，最大，最大值为；（3）满足要求的点坐标有三个，分别为：、、．

【解析】

(1)先由直线l的解析式得出A、B的坐标，再根据旋转的性质得出D点坐标，然后用待定系数法求出抛物线解析式;

(2)设出N点横坐标，纵坐标用横坐示表示,同时表示出M点坐标，而MN的长度为N点与M点的纵坐标之差，得出MN的长度是N点横坐标的二次函数，利用配方法求出最值;

(3)显然分G点在y轴上和F点在y轴上两大情况，根据每种情况列方程进行求解.

∵直线交轴于点、交轴于点，

∴，，

∵将绕点逆时针旋转得到，

∴，，

设过点，，的抛物线的解析式为：，

将点坐标代入可得：，

∴，

∴抛物线的解析式为；

∵，，

∴直线的解析式为，

设点坐标为，

则点坐标为，

∴，

∴当时，最大，最大值为；

若点在轴上，如图，

作轴于，交抛物线对称轴于，

在和中，

，

∴，

∴，，

∵，

∴，

设，则：

，

，

∴，

∴，

∴点的坐标为；

若点在轴上，如图，作抛物线对称轴于，抛物线对称轴于，

则，

∴，

∴，

∴，

∴或（舍），

∴点的坐标为，

综上所述，满足要求的点坐标有三个，分别为：、、．