题目内容

如图，矩形ABOD的顶点A是函数 $数学公式$ 与函数y=-x-（k+1）在第二象限的交点，AB垂直于x轴于B，AD垂直于y轴于D，且矩形ABOD的面积为3．
（1）求两函数的解析式；
（2）求交点A、C的坐标；
（3）若以AC为直径的圆与y轴交于P点，求P点坐标．

解：（1）设点A的坐标为（x，y），
∵点A在第二象限，
∴x＜0，y＞0，
∵S_矩形ABOD=|AB|•|AD|=|x|•|y|=3，
∴-xy=3，
又∵ $\text{[math]}$ ，
∴xy=k，
∴k=-3．
∴反比例函数的解析式为y=- $\text{[math]}$ ，一次函数的解析式为y=-x+2．

（2）由 $\text{[math]}$ ，
解得 $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$ ．
∴点A、C的坐标分别为（-1，3），（3，-1）．

（3）∵点A、C的坐标分别为（-1，3），（3，-1），
∴线段AC的长为 $\text{[math]}$ =4 $\text{[math]}$ ，
∴以AC为直径的圆的半径为2 $\text{[math]}$ ，
∴线段AC的中点坐标为：（ $\text{[math]}$ ），
即：（1，1），
设P点的坐标为（0，a），
∵则（a-1）²+1²=（2 $\text{[math]}$ ）²
解得：a=1± $\text{[math]}$ ，
∴点P的坐标为（0，1+ $\text{[math]}$ ），（0，1- $\text{[math]}$ ）．
分析：（1）根据反比例函数系数k的几何意义和矩形ABOD的面积为3求出k的值；
（2）将两函数解析式组成方程组，求出其解，即得交点A、C的坐标；
（3）首先根据A、C的坐标确定圆的直径的长和AC的中点的坐标为（1，1），设p坐标（0，a），利用P点与AC中点距离为2 $\text{[math]}$ 列方程求解a的值后即可确定点P的坐标．
点评：此题考查了反比例函数的几何意义及函数图象交点和方程组的解关系，求出各交点坐标是解题的关键．