Question

如图1，点A是直线y=kx（k＞0，且k为常数）上一动点，以A为顶点的抛物线y=（x-h）²+m交直线y=x于另一点E，交y轴于点F，抛物线的对称轴交x轴于点B，交直线EF于点C（点A，E，F两两不重合）。

（1）请写出h与m之间的关系；（用含的k式子表示）
（2）当点A运动到使EF与x轴平行时（如图2），求线段AC与OF的比值；
（3）当点A运动到使点F的位置最低时（如图3），求线段AC与OF的比值。

Answer 1

解（1）∵抛物线顶点（h，m）在直线y=kx上，
∴m=kh；
（2）解方程组，
将（2）代入（1）得到：（x-h）²+kh=kx，
整理得：（x-h）[（x-h）-k]=0，
解得：x₁=h，x₂=k+h ，
代入到方程（2）y₁=hy₂=k²+hk
所以点E坐标是（k+h，k²+hk）
当x=0时，y=（x-h）²+m=h²+kh，
∴点F坐标是（0，h²+kh）
当EF和x轴平行时，点E，F的纵坐标相等，
即k²+kh=h²+kh
解得：h=k（h=-k舍去，否则E，F，O重合）
此时点E（2k，2k²），F（0，2k²），C（k，2k²），A（k，k²）
∴AC∶OF=k²∶2k²=1∶2；
 （3）当点F的位置处于最低时，其纵坐标h²+kh最小，
∵h²+kh=，
当h=，点F的位置最低，此时F（0，-）
解方程组得E（），A（）
设直线EF的解析式为y=px+q，将点E（），F（0，-）
的横纵坐标分别代入得，解得：p=，q=-，
∴直线EF的解析式为，
当x=-时，y=-k²，即点C的坐标为（-，-k²），
∵点A（-），所以AC=，而OF=，
∴AC=2OF，即AC∶OF=2。