Question

（2008•宝山区二模）已知∠AOB=45°，P是边OA上一点，OP=4

2

，以点P为圆心画圆，圆P交OA于点C（点P在O、C之间，如图）．点Q是直线OB上的一个动点，连PQ，交圆P于点D，已知，当OQ=7时，

PD

DQ

=

2

3

．
（1）求圆P半径长；
（2）当点Q在射线OB上运动时，以点Q为圆心，OQ为半径作圆Q，若圆Q与圆P相切，试求OQ的长度；
（3）连CD并延长交直线OB于点E，是否存在这样的点Q，使得以O、C、E为顶点的三角形与△OPQ相似？若存在，试确定Q点的位置；若不存在，试说明理由．

Answer 1

分析：（1）首先过点P作PG⊥OB，垂足为G，由∠AOB=45°，OP=4

2

，根据勾股定理，即求得PG与OG的值，又由OQ=7，

PD

DQ

=

2

3

，即可求得PD的长；
（2）首先设OQ=x，根据勾股定理可得PQ=

x2-8x+32

，然后分别从⊙P与⊙Q外切或外切去分析求解即可求得答案；
（3）首先易得∠POQ=∠COE，∠OPQ=2∠OCE≠∠OCE，可得要使△OPQ与△OCE相似，只可能∠OQP=∠OCE，然后分别从当点Q在射线OB上时与当点Q在射线OB的反向延长线上时去分析求解即可求得答案．

解答：解：（1）过点P作PG⊥OB，垂足为G，
∵∠AOB=45°，OP=4

2

，
∴PG=OG=4．  …（1分）
又∵OQ=7，
∴GQ=3． 
从而PQ=5，…（1分）
∵

PD

DQ

=

2

3

，
∴PD=2，
即⊙的半径长为2．…（1分）

（2）设OQ=x，则PQ=

(x-4)2+42

=

x2-8x+32

．    （1分）
当⊙P与⊙Q外切时，
PQ=OQ+2，即

x2-8x+32

=x+2，…（1分）
解得：x=

7

3

．经检验是方程的根，且符合题意，…（1分）
当⊙P与⊙Q 内切时，
PQ=OQ-2，即

x2-8x+32

=x-2，…（1分）
解得：x=7．经检验是方程的根，且符合题意，…（1分）
所以，当OQ的长度为 

7

3

或7时，⊙P与⊙Q相切．

（3）∵∠POQ=∠COE，
∵PC=PD，
∴∠PDC=∠PCD，从而∠OPQ=2∠OCE≠∠OCE，
∴要使△OPQ与△OCE相似，只可能∠OQP=∠OCE，…（1分）
当点Q在射线OB上时，
∠OQP=45°，∠OPQ=90°．
∴OQ=8．…（2分）
当点Q在射线OB的反向延长线上时，
∠OQP=15°，∠OPQ=30°．
过点Q作QH⊥OP，垂足为H，
则 PH=

3

QH，
设 QH=t，则t+4

2

=

3

t，
解得：t=2

6

+2

2

，
∴OQ=

2

t=4

3

+4．…（2分）
综上，点Q在射线OB上，且OQ=8时，以O、C、E为顶点的三角形与△OPQ相似；或者点Q在射线OB的反向延长线上，且OQ=4

3

+4时，以O、C、E为顶点的三角形与△OPQ相似．

点评：此题考查了相似三角形的判定与性质、勾股定理、圆与圆的位置关系等知识．此题综合性很强，难度较大，解题的关键注意方程思想与数形结合思想的应用．