Question

如图，点C是反比例函数y=的图象在第一象限的分支上的一点，直线y=ax+b与x轴相交于点A，与y轴相交于点B，作CH⊥x轴于点H，交直线AB于点F，作CG⊥y轴于点G，交直线AB于点E．已知四边形OHCG的面积为6．
（1）求双曲线的解析式；
（2）若E、F分别为CG和CH的中点，求△CEF的面积；
（3）若∠BAO=α，求AE•BF的值（用α表示）

Answer 1

解：（1）设点C的坐标为（m，n），则CG=m，CH=n
根据题意：mn=6
∵C（m，n）在双曲线y=上，
∴n=，
∴k=mn，
∴k=6，
∴双曲线的解析式为y=；

（2）连接CH，则△CGH的面积为3，
且EF是△CGH的中位线，
∴=，
∴△CEF的面积为=；

（3）作EM⊥x轴于M，则EM=y，
在直角△AEM中，∠BAO=α，
∴AE=
作FN⊥y轴于点N，则FN=x，
在直角△BFN中，∠BFN=α，
∴BF=
∴AE•BF=•=．
分析：（1）由于点C在反比例函数y=的图象在第一象限的分支上的一点，又CH⊥x轴于点H，CG⊥y轴于点G，并且四边形OHCG的面积为6，利用待定系数法即可确定函数解析式；
（2）连接CH，则△CGH的面积为3，而EF是△CGH的中位线，由此得到=，由此即可求解；
（3）如图，作EM⊥x轴于M，则EM=y，在直角△AEM中，∠BAO=α，利用三角函数得到AE=，作FN⊥y轴于点N，则FN=x，同理在直角△BFN中，∠BFN=α，得到BF=，接着就可以求出AE•BF．
点评：此题考查了反比例函数的图象和性质、也考查了三角函数的知识，也利用了三角形的中位线的性质和三角形的面积公式，综合性比较强，对于学生的能力要求比较高．