Question

【题目】如图，已知二次函数的图象经过点A（-3，6），并与x轴交于点B（-1，0）和点C，顶点为点P．

（1）求这个二次函数解析式；

（2）设D为x轴上一点，满足∠DPC=∠BAC，求点D的坐标；

（3）作直线AP，在抛物线的对称轴上是否存在一点M，在直线AP上是否存在点N，使AM+MN的值最小？若存在，求出M、N的坐标：若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）点C坐标为（3，0），点P（1，-2）；（2）点P（7，0）；（3）点N（-，）．

【解析】

（1）将点A、B坐标代入二次函数表达式，即可求解；
（2）利用S△ABC= ×AC×BH= ×BC×yA，求出sinα= ，则tanα= ，在△PMD中，tanα= = ，即可求解；
（3）作点A关于对称轴的对称点A′（5，6），过点A′作A′N⊥AP分别交对称轴与点M、交AP于点N，此时AM+MN最小，即可求解．

（1）将点A、B坐标代入二次函数表达式得：，解得：，

故：抛物线的表达式为：y=x2-x-，

令y=0，则x=-1或3，令x=0，则y=-，

故点C坐标为（3，0），点P（1，-2）；

（2）过点B作BH⊥AC交于点H，过点P作PG⊥x轴交于点G，

设：∠DPC=∠BAC=α，

由题意得：AB=2，AC=6，BC=4，PC=2，

S△ABC=×AC×BH=×BC×yA，

解得：BH=2，

sinα===，则tanα=，

由题意得：GC=2=PG，故∠PCB=45°，

延长PC，过点D作DM⊥PC交于点M，

则MD=MC=x，

在△PMD中，tanα===，

解得：x=2，则CD=x=4，

故点P（7，0）；

（3）作点A关于对称轴的对称点A′（5，6），

过点A′作A′N⊥AP分别交对称轴与点M、交AP于点N，此时AM+MN最小，

直线AP表达式中的k值为：=-2，则直线A′N表达式中的k值为，

设直线A′N的表达式为：y=x+b，

将点A′坐标代入上式并求解得：b=，

故直线A′N的表达式为：y=x+…①，

当x=1时，y=4，

故点M（1，4），

同理直线AP的表达式为：y=-2x…②，

联立①②两个方程并求解得：x=-，

故点N（-，）．