Question

已知：抛物线y=﹣x²﹣2（a﹣1）x﹣（a²﹣2a）与x轴交于点A（x₁，0）、B（x₂，0），且x₁＜1＜x₂。
（1）求A、B两点的坐标（用a表示）；
（2）设抛物线的顶点为C，求△ABC的面积；
（3）若a是整数，P为线段AB上的一个动点（P点与A、B两点不重合），在x轴上方作等边△APM和等边△BPN，记线段MN的中点为Q，求抛物线的解析式及线段PQ的长的取值范围。

Answer 1

解：（1）∵拋物线与x轴交于点A（x1，0）、B（x2，0）， ∴x1、x2是关于x的方程﹣的解； 方程可化简为x2+2（a﹣1）x+（a2﹣2a）=0； 解方程，得x=﹣a或x=﹣a+2； ∵x1＜x2，﹣a＜﹣a+2， ∴x1=﹣a，x2=﹣a+2 ∴A、B两点的坐标分别为A（﹣a，0），B（﹣a+2，0）； （2）∵AB=2，顶点C的纵坐标为， ∴△ABC的面积等于； （3）∵x1＜1＜x2， ∴﹣a＜1＜﹣a+2 ∴﹣1＜a＜1； ∵a是整数， ∴a=0，即所求拋物线的解析式为y=﹣x2+2x； 此时顶点C的坐标为C（1，）如图，作CD⊥AB于D，连接CQ，则AD=1，CD=，tan∠BAC=， ∴∠BAC=60°由拋物线的对称性可知△ABC是等边三角形； 由△APM和△BPN是等边三角形，线段MN的中点为Q可得，点M、N分别在AC和BC边上，四边形PMCN的平行四边形，C、Q、P三点共线，且PQ=PC； ∵点P线段AB上运动的过程中，P与A、B两点不重合，DC≤PC＜AC，DC=，AC=2， ∴≤PQ＜1。