题目内容
(2012•盐城模拟)如图a,在平面直角坐标系中,A(0,6),B(4,0)
(1)按要求画图:在图a中,以原点O为位似中心,按比例尺1:2,将△AOB缩小,得到△DOC,使△AOB与△DOC在原点O的两侧;并写出点A的对应点D的坐标为
(2)已知某抛物线经过B、C、D三点,求该抛物线的函数关系式,并画出大致图象;
(3)连接DB,若点P在CB上,从点C向点B以每秒1个单位运动,点Q在BD上,从点B向点D以每秒1个单位运动,若P、Q两点同时分别从点C、点B点出发,经过t秒,当t为何值时,△BPQ是等腰三角形?
(1)按要求画图:在图a中,以原点O为位似中心,按比例尺1:2,将△AOB缩小,得到△DOC,使△AOB与△DOC在原点O的两侧;并写出点A的对应点D的坐标为
(0,-3)
(0,-3)
,点B的对应点C的坐标为(-2,0)
(-2,0)
;(2)已知某抛物线经过B、C、D三点,求该抛物线的函数关系式,并画出大致图象;
(3)连接DB,若点P在CB上,从点C向点B以每秒1个单位运动,点Q在BD上,从点B向点D以每秒1个单位运动,若P、Q两点同时分别从点C、点B点出发,经过t秒,当t为何值时,△BPQ是等腰三角形?
分析:(1)在射线AO上截取OD=3,在射线BO上截取OC=2,然后连接CD,即可得到△DOC,然后根据平面直角坐标系写出点D、C的坐标即可;
(2)根据点B、C的坐标设交点式解析式y=a(x+2)(x-4),然后把点D的坐标代入求出a的值,即可得到抛物线解析式,然后作出大致图象即可;
(3)先用t表示出CP、BQ、BP的长度,并根据点B、D的坐标求出OB、OD的长度,根据勾股定理求出BD的长度,然后分①QP=QB时,过Q作QG⊥BC于G,根据三角形三线合一的性质可得BG=
BP,再根据△BGQ和△BOD相似,利用相似三角形对应边成比例列式计算即可求出t的值;②BP=BQ时,列出方程求解即可得到t的值;③PQ=PB时,过P作PH⊥BD于H,根据等腰三角形三线合一的性质可得BH=
BQ,再根据△BHP和△BOD相似,利用相似三角形对应边成比例列式计算即可求出t的值.
(2)根据点B、C的坐标设交点式解析式y=a(x+2)(x-4),然后把点D的坐标代入求出a的值,即可得到抛物线解析式,然后作出大致图象即可;
(3)先用t表示出CP、BQ、BP的长度,并根据点B、D的坐标求出OB、OD的长度,根据勾股定理求出BD的长度,然后分①QP=QB时,过Q作QG⊥BC于G,根据三角形三线合一的性质可得BG=
1 |
2 |
1 |
2 |
解答:解:(1)△DOC如图所示,
点C(-2,0),D(0,-3),
故答案为:D(0,-3),C(-2,0);
(2)∵C(-2,0),B(4,0),设抛物线y=a(x+2)(x-4),
将D(0,-3)代入,得-8a=-3,
解得a=
,
所以,y=
(x+2)(x-4),
即y=
x2-
x-3,
大致图象如图所示;
(3)设经过ts,△BPQ为等腰三角形,
此时CP=t,BQ=t,
所以,BP=6-t,
∵OD=3,OB=4,
∴BD=
=
=5,
①QP=QB时,如图,过Q作QG⊥BC于G,则BG=
BP=
(6-t),
由△BGQ∽△BOD,得
=
,
即
=
,
解得t=
s;
②BP=BQ时,则6-t=t,
解得t=3s;
③PQ=PB时,如图,过P作PH⊥BD于H,则BH=
BQ=
t,
由△BHP∽△BOD,得
=
,
即
=
,
解得t=
s,
综上所述,当t=
s或3s或
s时,△BPQ为等腰三角形.
点C(-2,0),D(0,-3),
故答案为:D(0,-3),C(-2,0);
(2)∵C(-2,0),B(4,0),设抛物线y=a(x+2)(x-4),
将D(0,-3)代入,得-8a=-3,
解得a=
3 |
8 |
所以,y=
3 |
8 |
即y=
3 |
8 |
3 |
4 |
大致图象如图所示;
(3)设经过ts,△BPQ为等腰三角形,
此时CP=t,BQ=t,
所以,BP=6-t,
∵OD=3,OB=4,
∴BD=
OD2+OB2 |
32+42 |
①QP=QB时,如图,过Q作QG⊥BC于G,则BG=
1 |
2 |
1 |
2 |
由△BGQ∽△BOD,得
BG |
BO |
BQ |
BD |
即
| ||
4 |
t |
5 |
解得t=
30 |
13 |
②BP=BQ时,则6-t=t,
解得t=3s;
③PQ=PB时,如图,过P作PH⊥BD于H,则BH=
1 |
2 |
1 |
2 |
由△BHP∽△BOD,得
BH |
BO |
BP |
BD |
即
| ||
4 |
6-t |
5 |
解得t=
48 |
13 |
综上所述,当t=
30 |
13 |
48 |
13 |
点评:本题是二次函数的综合题型,主要涉及了位似变换,待定系数法求二次函数解析式,解等腰三角形,(2)用抛物线的交点式形式求解比较简单,(3)要注意根据等腰三角形的腰长的不同分情况讨论.
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