题目内容

已知:抛物线y=x2-(2m+4)x+m2-10与x轴交于A、B两点,C是抛物线的顶点.
(1)用配方法求顶点C的坐标(用含m的代数式表示);
(2)“若AB的长为2
2
,求抛物线的解析式.”解法的部分步骤如下,补全解题过程,并简述步骤①的解题依据,步骤②的解题方法;
解:由(1)知,对称轴与x轴交于点D(
 
,0)
∵抛物线的对称性及AB=2
2

∴AD=DB=|xA-xD|=2
2

∵点A(xA,0)在抛物线y=(x-h)2+k上,
∴0=(xA-h)2+k①
∵h=xC=xD,将|xA-xD|=
2
代入上式,得到关于m的方程0=(
2
)2+(      )

(3)将(2)中的条件“AB的长为2
2
”改为“△ABC为等边三角形”,用类似的方法求出此抛物线的解析式.
分析:(1)将所给的二次函数解析式配成完全平方式即可;
(2)①题中,点A在抛物线的图象上,因此A点的坐标一定满足此函数解析式;而②所用的显然是代入法;
②设抛物线的对称轴与x轴的交点为D;由于抛物线开口向上,且与x轴有交点,那么顶点C必在x轴下方,所以C点的纵坐标小于0,由此可求出m的取值范围;根据抛物线的顶点坐标,可求出CD的长度;而△ABC是等边三角形,那么在Rt△ACD中,CD=
3
AD,由此可求出AD的长;设A(xA,0),将其代入抛物线的解析式中,即可得到0=(xA-h)2+k,此式中,h与C点横坐标相同,因此|xA-h|其实就是AD的长,在(1)题中,通过配方已经求得了k的值,即可得到关于m的方程,然后配成(2)②的形式,根据非负数的性质及m的取值范围即可求出m的值,从而确定抛物线的解析式.
解答:解:(1)∵y=x2-(2m+4)x+m2-10
=[x-(m+2)]2-4m-14,
∴顶点C的坐标为(m+2,-4m-14).

(2)由(1)知,对称轴与x轴交于点D(m+2,0),
∵抛物线的对称性及AB=2
2

∴AD=DB=|xA-xD|=
2

∵点A(xA,0)在抛物线y=(x-h)2+k上,
∴0=(xA-h)2+k①
∵h=xC=xD,将|xA-xD|=
2
代入上式,
得到关于m的方程0=(
2
2+(-4m-14)②
解得m=-3,
当m=-3时,抛物线y=x2+2x-1与x轴有交点,
且AB=2
2
,符合题意.
所求抛物线的解析式为y=x2+2x-1.
步骤①的解题依据:抛物线上一点的坐标满足此函数解析式;
步骤②的解题方法:代入法

(3)∵△ABC是等边三角形,
∴由(1)知CD=|-4m-14|=4m+14(-4m-14<0),
AD=DB=
1
3
CD=
1
3
(4m+14)(-4m-14<0),
∵点A(xA,0)在抛物线上,
∴0=(xA-h)2+k.
∵h=xC=xD,将|xA-xD|=
1
3
(4m+14)代入上式,
得0=
1
3
(4m+14)2-4m-14,
∵-4m-14<0,
1
3
(4m+14)-1=0,
解得m=-
11
4

当m=-
11
4
时,抛物线y=x2+
3
2
x
-
39
16
与x轴有交点,且符合题意.
所求抛物线的解析式为y=x2+
3
2
x
-
39
16
点评:此题主要考查了用配方法求二次函数解析式顶点坐标的方法、函数图象上点的坐标意义、等边三角形的性质、二次函数解析式的确定等知识,正确理解材料的解题思路是解答此题的关键.
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