题目内容

已知：二次函数y=ax²+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其中点B在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，线段OB、OC的长（OB＜OC）是方程x²-10x+16=0的两个根，且A点坐标为（-6，0）．
（1）求此二次函数的表达式；
（2）若点E是线段AB上的一个动点（与点A、点B不重合），过点E作EF∥AC交BC于点F，连接CE，设AE的长为m，△CEF的面积为S，求S与m之间的函数关系式，并写出自变量m的取值范围；
（3）在（2）的基础上试说明S是否存在最大值？若存在，请求出S的最大值，并求出此时点E的坐标，判断此时△BCE的形状；若不存在，请说明理由．

解：（1）解方程x²-10x+16=0得x₁=2，x₂=8，
∵点B在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，且OB＜OC，
∴B、C三点的坐标分别是B（2，0）、C（0，8），
将A（-6，0）、B（2，0）、C（0，8）代入表达式y=ax²+bx+8， $\text{[math]}$ 解得 $\text{[math]}$
∴所求二次函数的表达式为y=- $\text{[math]}$ x²- $\text{[math]}$ x+8；

（2）∵AB=8，OC=8，依题意，AE=m，则BE=8-m，
∵OA=6，OC=8，∴AC=10．
∵EF∥AC，∴△BEF∽△BAC．
∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ．即 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ．∴EF= $\text{[math]}$ ．
过点F作FG⊥AB，垂足为G，则sin∠FEG=sin∠CAB= $\text{[math]}$ ．
∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ．∴FG= $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ =8-m．
∴S=S_△BCE-S_△BFE= $\text{[math]}$ （8-m）×8- $\text{[math]}$ （8-m）（8-m）
= $\text{[math]}$ （8-m）（8-8+m）= $\text{[math]}$ （8-m）m=- $\text{[math]}$ m²+4m．
自变量m的取值范围是0＜m＜8．

（3）存在．理由如下：
∵S=- $\text{[math]}$ m²+4m=- $\text{[math]}$ （m-4）²+8，且- $\text{[math]}$ ＜0，
∴当m=4时，S有最大值，S_最大值=8．
∵m=4，∴点E的坐标为（-2，0）
∴△BCE为等腰三角形．
（其它正确方法参照给分）
分析：（1）解方程x²-10x+16=0求得x₁=2，x₂=8，根据题意，得A（-6，0）、B（2，0）、C（0，8）代入解析式y=ax²+bx+c，列方程求a、b、c的值即可；
（2）过点F作FG⊥AB，垂足为G，由EF∥AC，得△BEF∽△BAC，利用相似比求EF，sin∠FEG=sin∠CAB= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，求FG，根据S=S_△BCE-S_△BFE求S与m之间的函数关系式；
（3）利用配方法将（2）中S与m之间的函数关系式写出顶点式，可求S有最大值时，m的值，从而确定点E的坐标和△BCE的形状．
点评：本题考查了二次函数的综合运用．关键是根据已知条件求解析式，利用相似表示相关线段，求三角形的面积，利用二次函数的性质求面积的最大值．