Question

【题目】把△ABC放置在平面直角坐标系中，点A的坐标为（0，8），点B的坐标为（-6，0），点C的坐标为（8，0），M，N分别是线段AB，AC上的点，将△AMN沿直线MN翻折后，点A落在x轴上的A′处．

Ⅰ当MN∥x轴时，判断△A'CN的形状．

Ⅱ如图，当A'M⊥AB时．

①求A'的坐标；②求MN的长．

Ⅲ当△A'MB是等腰三角形时，直接写出A'的坐标．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）等腰直角三角形；（Ⅱ）①，；②；（Ⅲ）或，或，

【解析】

（Ⅰ）得出∠ANM=∠A'NM=∠ACO=45°，则∠A'NC=90°，即可证出△A'NC为等腰直角三角形；
（Ⅱ）①设MA'=x，则BM=10-x，得出，解得x=，求出A'B，即可得出答案；
②证明△AMN∽△ACB，可得出答案；
（Ⅲ）分三种情况，①当MB=MA'时，②当MA'=A'B时，③当BM=BA'时，可求出OA'的长，则答案可求出．

解：（Ⅰ）∵点A的坐标为（0，8），点B的坐标为（-6，0），点C的坐标为（8，0），
∴OA=OC=8，OB=6，
∵∠AOC=90°，
∴∠ACO=45°，AB=，AC=OA=，

将沿直线翻折后，点落在轴上的处，

，，，

轴，

，

，

△为等腰直角三角形，

（Ⅱ）①当时，，

，

设，则，

，

解得，

，

，

，

的坐标为，；

②，，

，

，

；

（Ⅲ）①当时，与点重合，则，

②当时，设，，

过点作于点，则，

，，

，

解得，

，

，，

③当时，过点作轴于点，

设，，

则，，

，

，

，

解得：（负值舍去），

，

，

，．

综合以上可得，当△是等腰三角形时，点的坐标为或，或，．