Question

【题目】感知：如图，在中，，点分别在边上，连接点分别为的中点，则与的数量关系是： ．

探究：把绕点顺时针方向旋转，如图，连接

证明：

的度数为 _

应用：把绕点在平面内自由旋转，若面积的最大值为___________．

Answer 1

【答案】感知：；探究：详见解析；；

【解析】

感知：由题意可得BD=CE，由三角形中位线可得BD=2PM，CE=2PN，可得PM=PN；

探究：（1）由“SAS”可证，由三角形中位线定理可得BD=2PM，CE=2PN，可得PM=PN；

（2）由全等三角形的性质可得∠ABD=∠ACE，由平行线的性质可得∠BDE=∠MPE，∠BNP=∠BCE，由三角形外角性质可求∠MPN=60°，可证△PMN是等边三角形，即可求解；

应用：先判断出BD最大时，△PMN的面积最大，而BD最大值是AB+AD=12，即可求解.

解：感知：∵AB=AC，AD=AE

∴BD=CE

∴ BD=2PM，CE=2PN

∴PM=PN

故答案为PM=PN.

探究：

证明：

又．

(SAS)．

．

点分别是的中点，

点分别是的中点

．

（2）∵

∴∠ABD=∠ACE

∵PM=PN

∴△PMN是等腰三角形

∵PM∥BD

∴∠DBE=∠MPE

∵PN∥BD

∴∠BNP=∠BCE

∵∠DBN=∠DBP+∠EBC=∠MPE+∠EBC

∴∠MPN=∠MPE+∠EPN=∠MPE+∠EBC+∠PNB=∠DBN+∠BCE=∠ABC+∠ABD+∠BCE=∠ABC+∠ACE+∠BCE=∠ABC+∠ACB

∴∠BAC=120°

∴∠ACB+∠ABC=60°

∴∠MPN=60°

∴△PMN是等边三角形

∴∠PMN=60°

故答案为60°.

（3）由（2）知△PMN是等边三角形，PM=PN=BD

∴PM最大时，△PMN面积最大，PM最小时，△PMN面积最小

∴点D在BA的延长线上，△PMN的面积最大

∴BD=AB+AD=12

∴PM=6

∴

故答案为.