Question

已知：如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AC=6，点D在边BC上，AD平分∠CAB，E为AC上的一个动点（不与A、C重合），EF⊥AB，垂足为F．
（1）求证：AD=DB；
（2）设CE=x，BF=y，求y关于x的函数解析式；
（3）当∠DEF=90°时，求BF的长？

Answer 1

分析：（1）求出∠CAB、∠DAB，推出∠DAB=∠B即可；
（2）求出AE=6-x，AF=

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AE=

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2

(6-x)，根据勾股定理求出AB，即可求出答案；
（3）求出DE=2x，求出AE=DE=6-x，得到方程，求出方程的解，即可求出答案．

解答：（1）证明：在△ABC中，∵∠C=90°，∠B=30°，
∴∠CAB=60°，
又∵AD平分∠CAB，
∴∠DAB=∠DAC=

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2

∠CAB=30°，
∴∠DAB=∠B，
∴AD=DB．

（2）解：在△AEF中，∵∠AFE=90°，∠EAF=60°，
∴∠AEF=30°，
∴AE=AC-EC=6-x，AF=

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2

AE=

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2

(6-x)，
在Rt△ABC中，∵∠B=30°，AC=6，
∴AB=12，
∴BF=AB-AF=12-

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2

(6-x)=9+

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x，
∴y=9+

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x，
答：y关于x的函数解析式是y=9+

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x（0＜x＜6）．

（3）解：当∠DEF=90°时，∠CED=180°-∠AEF-∠FED=60°，
∴∠EDC=30°，ED=2x，
∵∠C=90°，∠DAC=30°，
∴∠ADC=60°，
∴∠EDA=60°-30°=30°=∠DAE，
∴ED=AE=6-x．
∴有2x=6-x，得x=2，
此时，y=9+

1

2

×2=10，
答：BF的长为10．

点评：本题主要考查对等腰三角形的性质和判定，三角形的内角和定理，勾股定理，三角形的角平分线性质，含30度角的直角三角形等知识点的理解和掌握，综合运用这些性质进行推理是解此题的关键．