Question

【题目】如图已知在中，，，直角的顶点是的中点，两边、分别交和于点、，给出以下五个结论正确的个数有（ ）

①；②；③≌；④是等腰直角三角形；⑤当在内绕顶点旋转时（点不与、重合），.

A.2B.3C.4D.5

Answer 1

【答案】D

【解析】

根据等腰直角三角形的性质可得AP⊥BC，AP=PC，∠EAP=∠C=45°，根据同角的余角相等求出∠APE=∠CPF，判定②正确，然后利用“角边角”证明△APE和△CPF全等，根据全等三角形的可得AE=CF，判定①正确，再根据等腰直角三角形的定义得到△EFP是等腰直角三角形，判定④正确；根据全等三角形的判定判断③正确；根据全等三角形的面积相等可得△APE的面积等于△CPF的面积相等，然后求出四边形AEPF的面积等于△ABC的面积的一半，判定⑤正确．

解：∵AB=AC，∠BAC=90°，点P是BC的中点，

∴AP⊥BC，AP=PC，∠EAP=∠C=45°，

∴∠APF+∠CPF=90°，

∵∠EPF是直角，

∴∠APF+∠APE=90°，

∴∠APE=∠CPF，故②正确；

在△APE和△CPF中，

，

∴△APE≌△CPF（ASA），

∴AE=CF，故①正确；

∵△AEP≌△CFP，同理可证△APF≌△BPE，故③正确；

∴△EFP是等腰直角三角形，故④正确；

∵△APE≌△CPF，

∴S△APE=S△CPF，

∴S四边形AEPF=S△AEP+S△APF=S△CPF+S△BPE=S△ABC．，故⑤正确，

综上所述，正确的结论有①②③④⑤共5个．

故选择：D．