Question

如图，BC是⊙O的直径，AD=DC，弦AC与BD交于点E，
（1）求证：△ABE∽△DBC；
（2）已知：BC=

5

2

，CD=

5

2

，求sin∠AEB的值．

Answer 1

分析：（1）先根据AD=DC可求出∠ABD=∠DBC，再根据BC是⊙O的直径可得出∠BAC=∠BDC=90°，进而可求出△ABE∽△DBC；
（2）根据△ABE∽△DBC可知∠AEB=∠BCD，再根据△DBC是直角三角形可求出BD的长，再求出sin∠ACB的值即为sin∠AEB的值．

解答：解：（1）∵AD=DC，∴∠ABD=∠DBC，
∵BC是⊙O的直径，
∴∠BAC=∠BDC=90°，
∴△ABE∽△DBC；

（2）∵△ABE∽△DBC，∴∠AEB=∠BCD，
∵∠BDC=90°，BC=

5

2

，CD=

5

2

，
∴BD=

BC2-CD2

=

( 5 2 )2-( 5 2 )2

=

5

，
∴sin∠BCD=

BD

BC

=

5

5 2

=

2 5

5

，
∴sin∠AEB=

2 5

5

．

点评：本题涉及到弧、圆周角、弦的关系，相似三角形的判定与性质、锐角三角函数值，涉及面较广，但难易适中．