Question

【题目】已知：在平面直角坐标系中，为轴负半轴上的点，为轴负半轴上的点.

(1)如图1，以点为顶点、为腰在第三象限作等腰，若，，试求点的坐标；

(2)如图，若点的坐标为，点的坐标为，点的纵坐标为，以为顶点，为腰作等腰.试问：当点沿轴负半轴向下运动且其他条件都不变时，整式的值是否发生变化？若不发生变化，请求出其值；若发生变化，请说明理由；

(3)如图，为轴负半轴上的一点，且，于点，以为边作等边，连接交于点，试探索：在线段、和中，哪条线段等于与的差的一半？请你写出这个等量关系，并加以证明.

Answer 1

【答案】(1) C(-6,-2);(2)不发生变化，值为；（3）EN=(EM-ON)，证明见详解.

【解析】

（1）作CQ⊥OA于点Q,可以证明，由QC=AD,AQ=BO,再由条件就可以求出点C的坐标；

（2）作DP⊥OB于点P，可以证明，则有BP=OB-PO=m-(-n)=m+n为定值，从而可以求出结论的值不变为.

（3）作BH⊥EB于点B，由条件可以得出∠1=30°,∠2=∠3=∠EMO=15°,∠EOF=∠BMG=45°,EO=BM,可以证明，则GM=ON,就有EM-ON=EM-GM=EG,最后由平行线分线段成比例定理就可得出EN=(EM-ON).

（1）如图（1）作CQ⊥OA于Q,

∴∠AQC=90°,

∵为等腰直角三角形，

∴AC=AB,∠CAB=90°,

∴∠QAC+∠OAB=90°,

∵∠QAC+∠ACQ=90°,

∴∠ACQ=∠BAO,

又∵AC=AB,∠AQC=∠AOB,

∴(AAS),

∴CQ=AO,AQ=BO,

∵OA=2,OB=4,

∴CQ=2,AQ=4,

∴OQ=6,

∴C(-6,-2).

(2)如图（2）作DP⊥OB于点P,

∴∠BPD=90°,

∵是等腰直角三角形，

∴AB=BD,∠ABD=∠ABO+∠OBD=90°,

∵∠OBD+∠BDP=90°,

∴∠ABO=∠BDP,

又∵AB=BD,∠AOB=∠BPD=90°,

∴

∴AO=BP,

∵BP=OB-PO=m-(-n)=m+n,

∵A,

∴OA=,

∴m+n=,

∴当点B沿y轴负半轴向下运动时，AO=BP=m+n=,

∴整式的值不变为.

（3）

证明：如图（3）所示，在ME上取一点G使得MG=ON,连接BG并延长，交x轴于H.

∵为等边三角形，

∴BO=BM=MO,∠OBM=∠OMB=∠BOM=60°,

∴EO=MO,∠EBM=105°,∠1=30°,

∵OE=OB,

∴OE=OM=BM,

∴∠3=∠EMO=15°,

∴∠BEM=30°,∠BME=45°,

∵OF⊥EB,

∴∠EOF=∠BME,

∴,

∴BG=EN,

∵ON=MG,

∴∠2=∠3,

∴∠2=15°,

∴∠EBG=90°,

∴BG=EG,

∴EN=EG,

∵EG=EM-GM,

∴EN=(EM-GM),

∴EN=(EM-ON).