Question

如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，过点C作⊙O的切线CM．

（1）求证：∠ACM=∠ABC；

（2）延长BC到D，使BC = CD，连接AD与CM交于点E，若⊙O的半径为3，ED = 2, 求∆ACE的外接圆的半径．

Answer 1

证明：（1）连接OC

∵ AB为⊙O的直径

∴ ∠ACB = 90°

∴ ∠ABC ＋∠BAC = 90°[来源:]

又∵ CM是⊙O的切线

∴ OC⊥CM

∴ ∠ACM ＋∠ACO = 90°   

∵ CO = AO

∴ ∠BAC =∠ACO

∴ ∠ACM =∠ABC

（2）∵ BC = CD

∴ OC∥AD

又∵ OC⊥CE

∴ AD⊥CE

∴ ΔAEC是直角三角形

∴ ΔAEC的外接圆的直径为AC

又∵ ∠ABC ＋∠BAC = 90°

∠ACM ＋∠ECD = 90°

而∠ABC =∠ACM

∴ ∠BAC =∠ECD

又∠CED =∠ACB = 90°

∴ ΔABC∽ΔCDE

∴ =

而⊙O的半径为3

∴ AB = 6

∴ =

∴ BC² = 12

∴ BC = 2在RtΔABC中

∴ AC = = 2

∴ ΔAEC的外接圆的半径为